递归图

图论

递归图(recurrence plot, RP)是分析时间序列周期性、混沌性以及非平稳性的一个重要方法，可以揭示时间序列的内部结构，给出有关相似性、信息量和预测性的先验知识。递归图特别适合短时间序列数据，可以检验时间序列的平稳性、内在相似性。

定义

递归图是在水平轴上显示，在垂直轴上显示，其中是相空间轨迹。

背景介绍

递归图最初由Eckmann等人于1987年提出，主要用于对非线性动力系统的定性分析。递归图已经成功的应用在诸如气候变化，脑心电图分析，股市分析等众多领域。定量递归分析(recurrence quantificationanalysis，RQA)是基于递归图中的对角线、水平线及垂直线的分布对系统进行分析，从而获得动力学系统的定量信息。

详细说明

递推图提供了一种通过相空间可视化轨迹周期性的方法。由于高维相空间只能通过投影到二维或三维子空间中来可视化，因此相空间通常没有足够低的维度（两个或三个）来被描绘。然而，通过绘制递归图，我们可以通过二维表示来研究m维相空间轨迹的某些方面。

重复是指轨迹返回到它以前访问过的位置的时间。递归图描述轨迹在同一位置的成对时间的集合，即与的集合。这可以显示很多东西：例如，如果轨迹是严格周期性的，周期为，那么所有这类时间对将由的倍数分隔，并以对角线形式可见。为了绘制曲线图，将连续时间和连续相空间离散化，例如作为轨迹在时的位置，并在轨迹与之前的点足够接近（例如，在ε内）时作为递归计算。具体来说，递归/非递归可以以二元函数记录为：

如果，则递归图在坐标处放置一个（黑色）点。

由于相空间轨迹的特性，递归图包含典型的小尺度结构，如单点、对角线和垂直/水平线（或后者的混合，组合成扩展的簇）。这种大规模的结构，也称为纹理，在视觉上可以表现为同质、周期性、漂移或破坏。RP的视觉外观提供了有关系统动力学的提示。

递归图中的小尺度结构被递归量化分析所使用（Zbilut&Webber 1992；Marwan等人，2002）。这种量化可以定量地描述递归图，并研究系统的跃迁或非线性参数。与依赖于嵌入参数选择的递归量化分析的启发式方法不同，一些独立于嵌入的相关维数、K2熵或互信息等动态不变量也可以从递归图中导出。这些动力学不变量的基础是递推率和对角线长度的分布。

关闭返回图类似于递归图。不同之处在于，重复之间的相对时间用于y轴（而不是绝对时间）。

递归图的主要优点是，即使对于其他方法失败的短数据和非平稳数据，它们也能提供有用的信息。

扩展

多变量递推图扩展为交叉递推图和联合递推图。

交叉递归图考虑了同一相空间中两个不同系统的相空间轨迹（Marwan&Kurths，2002）：

两个系统的维度必须相同，但考虑的状态数（即数据长度）可能不同。交叉递归图比较两个系统相似状态的出现。它们可以用来分析两个不同系统之间动力学演化的相似性，在两个系统中寻找相似的匹配模式，或者用来研究两个时间尺度不同的相似系统的时间关系（Marwan&Kurths 2005）。

联合递归图是所考虑子系统的递归图的Hadamard乘积（Romano等人，2004），例如，对于两个系统和联合递归图是

与交叉复发图相比，联合复发图比较两个（或更多）系统中同时出现复发的情况。此外，所考虑的相空间的维数可以不同，但对于所有子系统，所考虑的状态数必须相同。联合递归图可用于检测相位同步。

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