为了解决第三次数学危机， 罗素提出了逻辑主义的纲领， 并得到一些著名的逻辑学家的支持， 成为数理逻辑中的三大学派之一。
理论内容
20世纪初, 在逻辑和数学中发现了许多悖论, 包括
罗素本人所发现的悖论(后被称为
罗素悖论) 。这些悖论动摇了数学的基础, 史称第三次数学危机。为了解决悖论, 并实现逻辑主义论题, 罗素提出了逻辑类型论。罗素在1903年出版的《数学的原则》( The Principles of Mathematics) 一书中最早提出类型论; 而在1908年的论文《以类型论为基础的数理逻辑》和1910—1913年与怀特海合著的《数学原理》中, 则全面系统地论述了逻辑类型论。逻辑类型论分两部分:
简单类型论和
分支类型论。简单类型论同分支类型论是结合在一起的, 但又具有独立性, 并与下面将要说到的
恶性循环原则无关。
分类
简单类型论
简单类型论的中心思想是, 把类或谓词分为不同的层。
第0层谓词: 包括一切个体(个体常项和变项) , 这些实体的类型记为0。
第1层谓词: 这是取个体为变目的谓词, 包括个体的属性、个体之间的关系。前者的类型记为(0) , 后者的类型记为(0, 0) , (0, 0, 0) 等等。
第2层谓词: 其空位被个体或第1层谓词填补, 并且至少出现一个第1层谓词作为变目。第2层谓词也根据它的空位的个数及种类而分成不同的类型。个体属性的属性, 其类型记为( ( 0) ) , 二元谓词(关系) 的一个属性, 其类型记为( (0, 0) ) , 等等。
第3层谓词、第4层谓词等等可类推。一个谓词如果其变目属于≤n层并且至少有一个变目是第n层的, 那么它便属于第n + 1层。第i层谓词能够有意义地述说第j层谓词, 当且仅当i = j + 1。第j层谓词不能有意义地述说同层的谓词。在逻辑系统中引入
简单类型论以后, 罗素悖论等逻辑悖论就可以消除, 因为这些悖论的发生是由于混淆了不同层的谓词所致。例如, 在罗素悖论中, 定义类的谓词记为＜^y (这里“^y”是一个空位记号) , 由它所定义的类记为“^y ( ＜y) ”。根据简单类型论, “＜ { ^y( ＜y) } ”一定是无意义的, 因为^y( ＜y)是一个类, 其层数高于它的定义谓词＜ ^y的变目的层数。因此,我们不能说: “一个类是或不是自身的元素”, 从而“由所有不是自身元素的类组成的类”是无意义的。
分支类型论
简单类型论不能消除说谎者悖论等语义悖论, 于是为了处理这些悖论, 罗素引进了
分支类型论。分支类型论是以
恶性循环原则为基础的。罗素说: “使我们能够避免不合法总体的那个原则, 可以陈述如下: ‘凡牵涉到一个汇集的全体者, 它本身不能是该汇集的一分子’; 或者, 反过来说, ‘如果假定某一汇集有一个总体, 它便将含有一些只能用这个总体来定义的分子, 那么这个汇集就没有总体’。我们把上述原则叫做‘恶性循环原则’, 因为它能使我们避免那些由假定不合法的总体而产生的恶性循环。” (Whitehead and Russell, pp. 37 - 38) 恶性循环原则强调的是, 总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。分支类型论就是在恶性循环原则的基础上对命题函项(广义的谓词) 所作的一种分类, 其核心是在类型中再区分出阶。为简化起见, 下面我们只考察个体的谓词这一类型。
个体是零阶函项。给定一个固定的论域(由个体x, y, ⋯组成的个体域) 以及其中的一些函项(谓词) 。＜x, ψ( x, y) , χ( x, y, z⋯)这些公式称为母式, 即不包含约束变元的公式, 除个体外没有其它变目。由这些母式可以得到x的其它函项, 例如: ( y). ψ( x, y) , (v y). ψ( x, y)等。所有这些函项都没有预设除个体的总体之外的总体。母式和这类函项称为“一阶函项”。
在一阶函项的基础上便可构造二阶函项。把一阶函项当作一个新的域，加到原有的个体域上去，得到一个扩大的论域。“＜! ^y” [ “^y”是空位符号，＜! ^y即＜! ( ) ] 代表一个一阶函项变元，“＜! y”代表这样一个函项的任一个值。“＜! x”是包含两个变元的函项，一个是＜! ^y，另一个是x。“( x). ＜! x”是包含变元＜! ^y的一个函项。由于引进一阶函项变元, 因而就有在新的论域上的一组母式。如果a是个体常项，那么＜! a就是变元＜! ^y的一个函项。如果a和b是个体常项，那么“＜! a蕴涵ψ! b”就是两个变元＜! ^y和ψ! ^y的一个函项，如此等等。因此以下公式：
f ( ＜! ^y)，g( ＜! ^y, ψ! ^y)，F ( ＜! ^y, x)，
就是包含个体和一阶函项作为变目的母式，被称为二阶母式(其中不必含有个体作为变目)。由以上母式可得到以下函项：
( ＜). g( ＜! ^y, ψ! ^y)，它是ψ! ^y的函项；
( x). F ( ＜! ^y, x)，它是＜! ^y的函项；
( ＜). F ( ＜! ^y, x)，它是x的函项。
二阶母式以及从二阶母式导出的量化公式称为二阶函项。也就是说，二阶函项包含一阶函项作为变元，也可包含个体变元，但不包含其它变元。
仿照以上方法可构成三阶函项和更高阶的函项。与命题函项类似，我们可构成各阶的命题。由上可见，如果在一个命题函项中出现的变元的最高阶数为n，那么当有一个属于n阶的变元的两次出现时，该命题函项的阶数为n + 1。对于命题函项的阶数，还要看命题函项的变目，这时阶数必须高于所有变目的阶数。当确定一个命题函项的阶数时，还要考虑作为缩写用的记号的表达式中所出现的阶数，例如，F ( ＜! ^y, x)是一个缩写, 表明这是＜! ^y和x的函项，因此该函项为二阶。通过以上的分阶, 我们可得到两个结果：
第一，可以把每个命题、性质或关系作为被断定的对象；
第二，因为只允许依次构成的各个阶的命题函项，又因为对于某个阶的函项，它所涉及的对象总体是明确地限定于某一论域之中的，所以就能避免“所有命题”、“所有谓词”这种不合法的总体。
使用分支类型论，语义悖论便可消除。例如说谎者悖论可以写成：“我断定p，而p是假的”。如果p是n阶命题，那么p在其中作为约束变元出现的命题“我断定p，而p是假的”为n + 1阶，可记为q，q比p高一个阶，它不能作为p的一个值进行代入，因此不会产生悖论。换句话说，如果p具有n阶的真或假，那么q就具有n + 1阶的真或假。我们可以认为，“我在某一时刻所说的所有一阶命题都是假的”这句话是真的，而不会引起悖论，因为这句话本身是二阶命题。
分支类型论有许多弊端。按照分支类型论, 我们不能说一切个体谓词如何，而要分成阶。对于实数，不能说所有实数如何，只能涉及具有确定的阶的实数。属于一阶的那些实数，在其定义中不出现“对于所有实数”这种短语；属于二阶的那些实数，在其定义中只能出现“所有一阶实数”这种短语，如此等等。这样一来，就失去了实数理论中的许多重要定义和定理。为了克服这种困难，罗素不得已增加了一条可化归性公理。
可化归性公理是说，每一个非直谓的函项都有一个形式上等值的直谓函项。有了这个公理，我们就可以用直谓函项替代非直谓函项。直谓函项的特点是：只要空位的阶确定了，整个函项的阶也就确定了，因为n + 1阶直谓函项必含有n阶空位。只根据空位划分类型，这是简单类型论的基本原则。因此可化归性公理的作用就是把分支类型论简化为简单类型论。有了可化归性公理，关于实数的阶的困难可得到解决。我们可以说，关于实数的命题函项虽有不同的阶，但对每一个关于实数的高阶命题都有一个相应的直谓函项，这一函项为同样的有理数所满足而不为其它有理数所满足。同样，我们可以对有不同阶的命题函项所表达的一类事物作出单一的断定。可化归性公理由于是一个人为的假定，而遭到很多数学家和逻辑学家的反对：他们不愿采用分支类型论和可化归性公理，而是采用简单类型论。罗素在1925年的《数学原理》第二版中放弃了可化归性公理，但仍采用分支类型论。
理论进化
1925年，在《数学原理》第二版出版之后不久，罗素的学生
兰姆赛(Ramsey)发表了一篇论文《数学基础》，1926年又发表了一篇论文《数理逻辑》。他废除了可化归性公理，并成功地保留了《数学原理》的符号部分，几乎没有变动。兰姆赛还提出，悖论分为两组： A组(现在称为逻辑悖论或
集合论悖论) 和B组(语义悖论或认识论悖论) 。A组悖论可用简单类型论来排除； B组悖论不能用逻辑符号表示，应归咎于日常语言的某种缺陷，在逻辑和数学中不出现。兰姆赛宣布，分支类型论和可化归性公理在逻辑中是多余的，只可用于解决B组悖论。1937年，罗素表示同意兰姆赛的观点。