里奇曲率张量

数理科学术语

在微分几何中，类似度量张量，里奇张量也是一个在黎曼流形每点的切空间上的对称双线性形式。以格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）为名的里奇张量或里奇曲率张量（Ricci curvature tensor）。提供了一个数据去描述给定的黎曼度规(Riemannian metric)所决定的体积究竟偏离寻常欧几里得 n- 空间多少的程度。粗略地讲，里奇张量是用来描述“体积扭曲”的一个值；也就是说，它指出了n-维流形中给定区域之n-维体积，其和欧几里得n-空间中与其相当之区域的体积差异程度。更精确的描述请见下文“直接的几何意义”段落。

正式定义

设是一个n-维黎曼流形。记为M在p点的切空间，任给切空间中的一对向量，Ricci 张量在点的值定义为线性映射的迹（trace），也就是说：

右手边R是所谓黎曼曲率张量，而是切空间之间的线性映射，所以可以计算这映射的迹。在局部坐标系下有

使用爱因斯坦求和约定的话，上式会写成：

其中，

已经知道里奇张量，就可以用里奇张量来定义里奇曲率。如果为点的单位向量，则

定义为在点，方向的里奇曲率，有时会把写成。也有些人会定义里奇曲率为这里。

直接的几何意义

对于黎曼流形（M,g)里任意一点p的旁边可以定义被称为测地法座标系的局部座标系。这些通过p的测地线不但都对应着通过原点的直线，而且同时构成了从p的距离和从原点的欧几里得距离的对应。这个座标系的度量张量是

。

好处就是，此座标是欧几里得度量的良好近似。实际上，由于在法座标系的放射测地线产生的雅可比场适用的度量的泰勒展开，

可以得到。

然后，在这个座标系，在p可以得到以下体积元素的展开。

然后，如果里奇曲率在向量的方向是正的，由于在M上从p向方向的短的测地线收束族扫过的圆锥区域的体积比在欧几里得空间对应的圆锥区域要小。如此类推，如果里奇曲率在给定的向量的方向是负的，流形同样的圆锥区域的体积比欧几里得空间对应的圆锥区域要大。

里奇曲率本质上就是包含

无迹的里奇张量

在黎曼几何无迹的里奇张量(trace-free Ricci tensor)是一个定义如下的张量