量子统计力学

量子力学概念

根据微观世界的这些规律改造经典统计力学，就得到量子统计力学。应用量子统计力学就能使一系列经典统计力学无法解释的现象，如黑体辐射、低温下的固体比热窖、固体中的电子为什么对比热的贡献如此小等等，都得到了合理的解释。量子统计力学有两大理论：Bose-Einstein统计力学和Fermi-Dirac统计力学，其中Bose-Einstein统计力学用来研究那些不带电荷的粒子体系，Fermi-Dirac统计力学用来研究带电粒子的体系。

定义

以量子力学为基础的统计力学，称为量子统计力学。经典统计力学以经典力学为基础，因而经典统计力学也具有局限性。例如：随着温度趋于绝对零度，固体的热也趋于零的实验现象，就无法用经典统计力学来解释。

在宏观世界中，看起来相同的物体总是可以区别的，在微观世界中，同一类粒子却无法区分。例如：所有的电子的一切性质都完全一样。在宏观物理现象中，将两个宏观物体交换，就得到一个和原来状态不同的状态，进行统计时必须将交换前和交换后的状态当作两个不同的状态处理；但是在一个物理系统中，交换两个电子后，得到的还是原来的状态，因此进行统计时，必须将交换前和交换后的状态当作同一个状态来处理。

在巨正则系统下的研究

量子统计的主要任务是从相互作用出发求出热力学函数，在巨正则系统下的研究结果如下：

巨配分函数

利用拉格朗日不定乘子法，在3个约束条件（概率归一，能量与粒子数平均值的表达式）下，求熵的极值（平衡态下熵取最大值），再与巨势满足的方程比较，得到巨配分函数：

式中为玻尔兹曼常数，它是热力学与统计物理学的标志性常数；分别为温度与化学势；分别为哈密顿算符与粒子算术符；是阵迹符号。

显然是变量的函数，而不是一个算符，它可以在任一祖方便的基底下写出来。

基本方程

量子统计理论给出了巨势与巨配分函数之间的关系，即量子统计的基本方程为：

密度矩阵

密度矩阵的定义为：。

分类

量子统计力学分为非平衡统计力学与平衡统计力学两大类。平衡统计力学研究平衡系统的统计规律，已有比较成熟的理论。非平衡态量子统计力学研究一个量子多体系统从非平衡态趋向平衡态的时间演化过程。因为这一演化是由量子动力学规律驱动的，所以它可以用冯·诺意方程来描述。又因为量子统计力学的任务是从微观量计算宏观统计热力学量，所以必须对系统的力学量及其平均值，如能量、动量等，同时对时间、空间坐标选择一个微观大，宏观小的区间。这个区间在微观上必须足够大，以至于包含成千上万个粒子的贡献，因而可以做统计平均；而这个区间在宏观上又必须足够小，因而可以进行宏观意义上的微分运算，从而建立起用微分方程表示的宏观统计热力学定律。

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