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错排公式

组合数学公式

问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

递推公式
当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用表示，那么就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.
第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；
第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有种方法；
综上得到
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.
下面通过这个递推关系推导通项公式：
为方便起见，设
则, .
时,
即
于是有.
因此将代入并将这些式子相加，可得
因此
.
此即错排公式。
容斥原理
用容斥原理也可以推出错排公式：
正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个点放对位置的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为
,
即.
其中，表示连加符号，k=2~n是连加的范围；0! = 1，可以和1!相消。
二项式反演
利用二项式反演我们更为简便的推导出一个通项公式。
考虑令表示个数字任意放的方案数，表示 个数字都不放在自己位置上的方案数，通过枚举不在自己位置上的数字的个数容易得到
由二项式反演得到
注意到，这样我们就得的通项公式，通过将和组合数展开就可以得到更为简便的通项公式了.
简化公式
错排公式的原形为，当n很大时计算就很不方便。一个供参考的简化后的公式是 ，其中e是自然对数的底，[x]为x的整数部分。
证明：
由于,
其中是余项，等于，且u∈(-1, 0).
所以，, u∈(-1, 0).
而，可知对，该余项（的绝对值）均小于1/2。
因此，无论是正是负，的整数部分都一定与相同。
对于比较小的n，结果及简单解释如下：
（空集中自然不存在错位的元素）
（只有一个元素，无论如何也不可能错位）
（两者互换位置）
（ABC变成BCA或CAB）
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