镜像法

求解静电场问题的方法

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

背景简介

在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法-镜象法来求解这类问题。

原理

基本原理

其基本原理是：用放置在所求场域之外的假想电荷（镜像电荷）等效的替代导体表面（或介质分界面）上的感应电荷（或极化电荷）对场分布的影响，从而将求解实际的边值问题转换为求解无界空间的问题。

唯一性定理

镜像法解题的理论依据是唯一性定理。

其实电像法的目的就是要凑出若干个点电荷代替在分界面的感应电荷描述源所在空间的电势或电场分布，这符合唯一性定理。

根据唯一性定理，镜像电荷的确定应遵循以下两条原则：1.所有的镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；2.镜像电荷的个数位置及电荷量的大小由满足场域边界上的边界条件来确定。

给定几何形状的导体，就是要凑出若干个点电荷使得分界面等势。

镜像点的求解

当有方向的射线到达障碍物（墙面）时，根据反射定理，将会发生反射作用，而如何确定反射射线，则是根据镜像法完成，具体步骤如下：

镜像点的求解；如果已经知道源点S和多面体面，根据镜像法原理，由该多面体面反射的射线可以认为是从镜像源点I直接辐射的射线。镜像源点I的位置和实源点S对于多面体面所在的平面是对称的。从实源点S的辐射特性以及多面体的电磁特性可以得到镜像源辐射的场。对于已知的观察点O，很容易知道反射点 R是线段IO和多面体面的交点。

对于一次反射来说，当所求空间域中有N个平面多面体面时，镜象的数目将是N个。因此，到达一个观察点的最大反射射线数目是N。

可以用类似的方法分析二次反射射线。二次反射射线的源是一阶镜像(一次反射的镜像)的镜像，它们被称为二阶镜像。由图1，两个平面，S为发送点，O为接收点，S关于平面1求镜像点a，S及a关于平面1对称，且连线垂直于平面1，镜像点b关于平面2求镜像点b，a及b关于平面2对称，且连线垂直于平面2。则对于两个平面来说，可以得到四个点：发送点S，镜像点a，镜像点b，接收点O。即利用发送点对平面1求镜像点a，再利用已求得的镜像点 a根据平面2求镜像点b，以此类推可求得发送点关于平面N的镜像点N。

线电荷对导体圆柱面的镜像问题

问题

在半径为a的无限长接地导体圆柱外有一根与圆柱轴线平行的无限长线电荷，线电荷密度为，与圆柱轴线的距离为d，求柱外任意点的电位。

求解

无限长带电直线的电位为：

其中为带电直线到电位零点的距离，q为为带电直线到场点的距离。

设镜像线电荷为，距O点的距离为dd，若取B点为无限长线电荷的电位参考点，则有

对于柱面外任意一点P，有

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