门限自回归模型

非线性模型

门限自回归模型(threshold autoregressive model)，又称阈模型，简称TAR模型，它是一种非线性模型。门限自回归模型由汤家豪（Tong）1978年提出，用来解决一类非线性问题。门限自回归模型在拟合实际数据时具有较好的性质，但是由于建立门限自回归模型的步骤比较复杂、不易掌握，而且比较费时、费力，这阻碍了门限自回归模型的应用。直到ROEYS.TSAY提出了相对来说比较简易的建模及检验方法后,这类模型才被人们广泛的应用。

基本信息

门限自回归模型是一类非线性模型，模型首先是由Tong和Lim提出的。门限自回归模型在拟合实际数据时具有较好的性质，但是由于建立门限自回归模型的步骤比较复杂，直到Tsay提出了相对比较简易的建模及检验方法后，这类模型才被广泛的应用。由于门限的控制作用，保证了模型具有很强的稳健性和广泛的适用性，与多元线性回归、模糊分析和灰色模型等预测模型相比，TAR模型具有预测精度高且稳健、应用简便的特点，因此近年来TAR模型在经济方面得到广泛的应用。

门限自回归模型的模型形式与分段线性模型形式非常相似。门限或阈（Threshold）的概念是指高于或低于门限值（阈值）的自回归过程不同，因此，可以捕捉到一个过程下降和上升模式中的非对称性。

思路及定义

TAR的基本思路：在观测时序的取值范围内引入L-1个门限值，将该范围分成 L个区间，并根据延迟步数d将按值的大小分配到不同的门限区间内，再对不同区间内的采用不同的自回归模型来描述，这些自回归模型的总和完成了对时序整个非线性动态系统的描述。其一般形式为：

其中，为门限值，L为门限期间的个数；d为延迟步数；对每一固定的j是方差为的白噪声系列，各之间是相互独立的；为第j个门限区间自回归系数；为第j个门限区间模型的阶数。由于TAR模型实质是分区间的AR模型，建模时沿用AR模型的参数估计方法和模型检验准则，如最小二乘法与AIC准则。其建模过程实质上是一个对d，L，，和的多维寻优问题。

特点

门限自回归模型是具有广泛意义的一种非线性时序模型，实质上是以分区间线性自回归模型来描述研究对象在整个区间的非线性变化特性。

门限自回归模型作为一类非线性模型有其特有的性质。门限自回归模型能够解释金融数据中经常表现出来的一些非线性性质周期性和不对称性、波动的聚集性、波动的跳跃现象和时间的不可逆性。

不仅可以对序列本身做门限自回归，建立最基本的模型，门限自回归模型还可以和其它的模型混合使用，建立混合的模型。如人模型与的混合就是模型，这个混合模型弥补了模型在拟合实际数据中的不足。

检验

门限自回归非线性特征检验

门限自回归模型是在全局空间上对不同体制建立线性模型从而达到描述变量的非线性特征的目的，但是一个变量到底应该建立线性模型还是应该建立非线性模型，需要有相应的检验标准才能让人信服。早期，门限自回归模型研究领域的研究重点之一就是门限效应的检验，并发展了许多可用的检验方法，这些检验方法的原假设一般是建立线性模型。它们可以大致分成两类：一类是混合检验，另一类检验是针对某些特定的备择假设模型所设计的。

（1）混合检验，即没有指定的备择假设模型，主要是检验对线性模型的偏离。关于混合检验，早期的有Ramsey (1969)提出的基于拉格朗日乘子原理的RESET检验、McLeod和Li (1983)关于模型残差ARCH效应的检验以及Broock和Scheinkman等(1996)提出的检验残差独立性的BDS检验。

（2）针对某些特定的备择假设模型所设计的检验。关于这类检验，备择假设模型可以是平滑转移自回归模型((STAR)或门限自回归模型(TAR)等。例如，Terasvirta (1994)研究了用Taylor展开式对LSTAR和ESTAR模型效应进行检验的方法。

事实上，在对门限自回归的非线性特征检验中，由于原假设和备择假设中的参数不一致，会导致在原假设下推导得到的分布包含冗余参数(在原假设下为不可识别参数)，进而导致分布函数不会随着样本容量增大渐近收敛到一个标准分布。Davies (1987)最早对该问题进行了研究，因此该问题也被称为“Davies问题”。为了解决这个难题，有学者采用非参数的方法，也有学者提出采用综合统计量的方法。

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