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闭区域

简单闭曲线及它的内部

闭区域(closed region)是指简单闭曲线及它的内部，构成“平面闭区域”。类似地，可定义空间闭区域。也称区域与它的边界的并集称为闭区域。区域(region)是几何学的基本概念之一，如果一个平面图形(封闭图形，不包含其内部)能将平面上不属于图形上的点分为若干个部分，使得同一部分任意两点可以用一条与图形无公共点的折线连结，不同部分的任意两点不能用与图形无公共点的折线连结，那么这个平面的每个部分都称为一个区域，该图形称为区域的边界。如果某一个区域的任意两点可以用与该图形无公共点的线段连结，那么这个区域称为凸区域。例如，一直线分平面为两个凸区域，两相交直线分平面为四个凸区域，三角形分平面为两个区域，其中只有一个凸区域(三角形的内部)。一个区域连同它的边界称为闭区域。

定义
定义1
连通的开集称为开区域，简称区域。开区域连同其边界所构成的集合称为闭区域。
定义2
区域和它的边界构成的区域称为闭区域，记为。若区域可以被包含在一个以原点为中心的圆内，则称是有界的；否则称为无界的。
相关概念
平面点集
有限个点或无限个点的集合称为点集，复平面上的点集可视为复数的集合。
邻域
复平面上以为中心，以为半径的圆的内部点(包括或不包括)的集合，即满足不等式
或
的点的集台，称为的邻域。
开集
若平面点集中每一个点至少存在一个邻域全部包含于内，则称为开集。
连通
若平面点集中任何两点，都可用完全属于的一条折线连接起来，则称是连通的。
区域的定义
若平面点集满足如下两条件：
1. 是开集；
2. 是连通的。
那么，称为区域。
简单曲线与闭曲线
简单曲线
设连续曲线，如果对于内的任意，对应有，那么称此曲线C是简单曲线。
闭曲线
设连续曲线，如果，那么称曲线C是闭曲线。
闭曲线的内部与外部
简单闭曲线将复平面分为两个区域：
1. 被闭曲线C包围的有界域称C的内部；
2. 不被闭曲线C包围的无界域称C的外部。
单连域与多连域
单连域
如果在区域D内任作的简单闭曲线的内部全都包含在D内，那么称D为单连域。
多连域
不是单连域的区域称为多连域。
常见的区域
闭区域上多元连续函数的性质
与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数有如下重要性质。
有界性定理
有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界。
最大值和最小值定理
有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定存在最大值和最小值。
介值定理
有界闭区域D上的多元连续函数必定能在D上取得介于它的最大值与最小值之间的任何值。
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