闭曲面

专业术语

闭曲面是指没有边界点的紧致连通2维实流形（曲面）。它分为可定向曲面与不可定向曲面。封闭的表面是紧凑且没有边界的表面。示例是像球体，环面和克莱恩瓶子这样的空间。非封闭表面的示例是：开放盘，其是具有穿刺的球体；圆柱体，是具有两个穿刺的球体；和莫比斯（Möbius）地带。与任何封闭的歧管一样，嵌入欧氏空间的表面相对于继承的欧氏距离拓扑结构并不一定是封闭的表面，例如，嵌入三维空间中的包含其边界的磁盘是一个拓扑关闭但不是封闭表面的曲面。

简介

闭曲面是指没有边界点的紧致连通2维实流形（曲面）。它分为可定向曲面与不可定向曲面。封闭的表面是紧凑且没有边界的表面。示例是像球体，环面和克莱恩瓶子这样的空间。

非封闭表面的示例是：开放盘，其是具有穿刺的球体；圆柱体，是具有两个穿刺的球体；和莫比斯（Möbius）地带。与任何封闭的歧管一样，嵌入欧氏空间的表面相对于继承的欧氏距离拓扑结构并不一定是封闭的表面，例如，嵌入三维空间中的包含其边界的磁盘是一个拓扑关闭但不是封闭表面的曲面。

分类

封闭表面的分类定理表明，任何连接的封闭表面与这三族之一的某些成员是同构的：

1.球体；

2.g的连接总和，g1；

3.k个实际投影平面的连接总和，k1。

前两个族的表面是可取向的。通过将球体作为0 tori的相关和来组合两个族是方便的。涉及的tori数量被称为表面属。球体和环面分别具有欧拉特征2和0，通常，连接总和的欧拉特性为2-2g。

第三族的表面是无方向性的。实际投影平面的欧拉特征为1，一般来说，它们的k的连接和的欧拉特征为2-k。

因此，通过两条信息确定封闭的表面，它的欧拉特征，以及它是否可定向。换句话说，欧拉特征和定向性将封闭的表面完全分类到同胚。

具有多个连接部件的闭合表面按其每个连接部件的类别分类，因此通常假定表面连接。

单结构

将这种分类与相关数相关联，直到同胚的封闭表面在相互联合的运算下形成一个可交换的单体，实际上做了任何固定维度的分歧。身份是球体，而真正的投影平面和环面则产生一个单一的关系P#P#P = P#T，也可以写为P#K = P#T，因为K = P#P。这个关系有时被称为瓦尔特·冯·戴克（Walther von Dyck）之后的Dyck定理，他在（Dyck 1888）中证明了这一点，三重交叉表面P#P#P被称为Dyck表面。

在几何上，与环面（#T）的连接加上一个手柄，两端连接在表面的同一侧，而与克莱恩瓶（#K）的连接加上手柄，两端连接到相对侧的可定向表面；在投影平面（#P）的存在下，表面不可取向（没有侧面概念），所以在连接环和连接克莱因瓶之间没有区别，这说明了关系。

边界表面

紧凑的表面，可能有边界，是简单的封闭表面，有限数量的孔（已经拆除的打开的光盘）。因此，连接的紧凑表面通过边界分量的数量和相应的封闭表面的类别等效地分类为边界分量的数量，定向性和欧拉特性。紧凑表面的属被定义为相应封闭表面的属。

这种分类几乎立即从封闭表面的分类开始：从闭合的表面中去除开放的圆盘，产生具有用于边界分量的圆的紧凑的表面，并且去除k个开放圆盘产生具有用于边界分量的k个不相交圆的紧凑的表面。孔的精确位置是无关紧要的，因为同胚组在至少2个维度的任何连接的歧管上k过渡。

相反，紧凑表面的边界是闭合的1歧管，因此是有限数量的圆的不相交的结合;用圆盘填充这些圆（正式，取锥）产生封闭的表面。

例如在映射类组的研究中，属性g和k边界分量的独特紧凑的可定向表面通常表示为。

黎曼表面

紧凑型2歧管的分类的例子是紧凑的黎曼表面的分类，即紧凑的复合1歧管。（注意，2球和环面都是复杂的歧管，实际上是代数变量。）由于每个复杂的歧管都是可定向的，所以投影平面的连接和不是复杂的歧管。因此，紧凑的黎曼表面的拓扑结构简单地以其属为特征。该属的数量是歧管中的孔数：球体属于0，单孔圆环属1等。

非紧凑表面

非紧凑的表面更难分类。作为一个简单的例子，通过从闭合的歧管中穿刺（去除有限的一组点）可以获得非紧凑的表面。另一方面，紧凑表面的任何开放子集本身就是非紧凑的表面;考虑例如在球体中设置的Cantor的补码，也称为Cantor树表面。然而，并非每个非紧凑表面都是紧凑表面的子集;两个规范的反例是雅各布的梯子和尼斯湖怪物，它们是无限属性的非紧凑表面。

不紧凑的表面M具有端部E（M）的非空的空间，其非正式地描述表面“到达无穷远”的方式。空间E（M）总是在拓扑等价于Cantor集合的闭合子空间。 M可以具有有限或可数的无限数量的手柄，以及有限或可数无限数量的投影平面。如果和都是有限的，那么这两个数字和末端空间的拓扑类型将表面M分类到拓扑等价性。如果和中的任一个都是无穷大的，则M的拓扑类型不仅取决于这两个数字，而且还取决于无限个数如何接近末端的空间。通常，M的拓扑类型由E（M）的四个子空间决定，它们是无限多个句柄和无限多个投影平面的极限点，仅限句柄的限制点，仅投影平面的极限点和两个极限点。

证明

封闭式表面的分类自19世纪60年代以来已经知道，而今天还有许多证据。

拓扑和组合证明一般依赖于每个紧凑型二维歧管与单一复杂的同构物的困难结果，这是本身感兴趣的。最常见的分类证明是（Seifert&Threlfall 1934），将每个三角形表面都标准化。约翰·康威（John H. Conway）在1992年发现了一个避免标准形式的简化证据，他称之为“零无证据”或“ZIP证明”，并在（Francis&Weeks 1999）中提出。

产生更强的几何结果的几何证明是均匀定理。这最初仅由Felix Klein，Paul Koebe和HenriPoincaré在1880年代和1900年代的黎曼表面证明。

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