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间接平差

数学术语

间接平差是在确定多个未知量的最或然值时，选择它们之间不存在任何条件关系的独立量作为未知量组成用未知量表达测量的函数关系、列出误差方程式，按最小二乘法原理求得未知量的最或然值的平差方法。间接平差为平差计算最常用的方法，其数学模型比较简单，便于评定平差值及其函数的精度。

定义
以观测方程作为函数模型的平差方法，称为间接平差法。如图1《边角网》所示边角网，有5个观测值，必要观测数t=2。如果选择P点坐标作为2个独立参数，则可以列出所有观测方程。
例如，S1边和角度β1的观测方程为
实际上，如果在这些方程中，将观测值的期望值用观测值本身来代替的话，这些方程之间将产生矛盾。平差的目的就是合理地消除这些矛盾。
设在测量系统中有n个观测值L，又选择了t个独立参数，观测方程的一般形式可表示为
线性化形式为
上式可写成
如果将真值△和用估值V和代替，则有
上式称为误差方程。间接平差法的随机模型为已知观测值的方差及相关信息。
原理
间接平差法可以列出n个如下平差值线性方程。
设
则平差值方差可以写成矩阵形式为
设
即参数平差值由近似值X0和改正数构成，则矩阵形式可变为
参数的解算应满足条件。问题变为求极值问题，将对求导，并令其为零得
转置得
上式与参数平差值的矩阵形式共同组成间接平差的基础方程。基础方程共有（n+t）个，方程中的未知量个数为n+t，且基础方程中的系数阵均为满秩阵，因此，可以由基础方程得到改正数向量V和未知参数向量的唯一解。
求解基础方程得
设，，则上式可简写为
或写为
综合以上公式，可得到改正数向量V的解，从而得到观测值及参数的平差值为
过程与步骤
（1）在测量系统中，选择t个独立参数，其个数应与必要观测数相同。参数的选取具有较大的自由度，如可以使得所选参数为有用值，且使得建立误差方程较为容易；
（2）列出误差方程，并将其线性化；
（3）根据实际应用情况，确定观测值的权；
（4）由误差方程的系数阵及常数项，组成法方程的系数阵及常数项阵；
（6）由误差方程计算观测值改正数向量V，并求出观测值的平差值。
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