阿基米德方法

物理学术语

一种科学的解决问题的方法。一种化大量为小量的方法。具体思路：要计算一个未知量（图形的面积、体积等），先将它分成许许多多的微小量（如将面分成线段，将体积分成薄片等），再用另一组微小量来和它比较．通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡．再将后一组微小量集合起来，它的总体应该是较易计算的．于是通过比较，即可求出未知量来．这实质上就是积分法的基本思想．

内容简介

发现及其内容

1906年，哥本哈根大学古典哲学教授J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928)在土耳其君士坦丁堡(现称伊斯坦布尔)仔细观看一部擦去旧字写上新字的羊皮纸书①，旧的字迹幸好没有擦干净可以判定是10世纪时写上去的．擦掉之后，大约在13世纪时写上一大堆东正教的祈祷文和礼拜仪式，作为中世纪的宗教文献保存了下来．旧的字迹隐约可辨，海伯格惊喜地发现这是阿基米德的著作，因为在别处见过．于是用摄影等技术使旧字迹重现，1908年再一次去进行工作，经过不懈的努力，终于使 185页的文字(除少数完全看不清者外)重见天日．其中包活《论球与圆柱》及《圆的度量》、《平面图形的平衡或其重心》的一部分．还有《论浮体》的相当一部分，过去一直认为希腊文本已失传，只有莫贝克(William of Moerbeke，约1230—1286)的拉丁文译本存下来，现在居然得到希腊文原本，虽然也还不是全部．更令人兴奋的是有一封阿基米德写给埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信，还是初次看到．这是本世纪数学史料的重大发现．

这封信主要讲如何根据力学原理去发现解决问题的方法。这封信里，阿基米德把一块面积或体积看成是有重量的东西，分成许多非常小的长条或薄片，然后用已知面积或体积去平衡这些“元素”，找到了重心和支点，所求的面积或体积就可以用杠杆定律计算出来。他把这种方法看作是严格证明前的一种试探性工作,得到结果以后,还要用归谬法去证明它。

这封信后来刊行于世，就是《阿基米德方法》。

《方法》简介

《方法》包括15个命题．一开头是写给埃拉托塞尼的信用来说明本篇的主要内容，相当于序言．下面，以命题1为例，阐明阿基米德的思想方法．为了便于了解，暂用现代的术语和符号来推导．

思想方法

设D是抛物线弧ABC的弦AC的中点，过D作直线平行于抛物线的轴OY，交抛物线于B．证明:抛物弓形ABCD的面积等于△ABC面积的 4/3.

当时已经知道过B的切线平行于AC，即B是弓形的顶点(在ABC弧上与AC距离最远的点)．命题结论的另一种说法是：

抛物弓形的面积，是等底等高的三角形的4/3．

用解析几何来分析，设抛物线方程是：y=ax^2 (1)

A，C的横坐标分别是x1，x2，

则AC的方程是：y=ax1x+ax2x-ax1·x2(2)

过C点的切线CF的方程是：y=2ax2x-ax2^2 (3)

延长DB交CF于E，不难证明，B是ED的中点．事实上，将D，B，E的横坐标 (x1+x2)/2 分别代入(2)、(1)、(3)式，可得三者的纵坐标，依次是：yD=a(x1^2+x2^2)/2，yB=a[(x1+x2)/2]^2，yE=ax1·x2

由此知B是D、E中点．

作AF//OY，交CF于F．延长CB交AF于K，则K是FA的中点．再取KH=KC，过AC上任意点M作MQ//OY，交CK于P，交CF于Q，交抛物线于N．将M的横坐标x0分别代入(2)、(1)、(3)，得M，N，Q的纵坐标：

yM=ax1·x0+ax2·x0-ax1·x2

yN=ax0^2

yQ=2ax2·x0-ax2^2

于是有：

上面推出的几个性质，有的前人已证明，有的阿基米德在别处已证明，在这里是作为已知条件来使用的．例如：1.过D且平行于轴的直线必过弓形的顶点B，且B是ED中点，在欧几里得以及阿里斯泰奥斯(Aristaeus，约公元前340年)的圆锥曲线论中已证明，在阿基米德的《抛物线图形求积法》命题 1，2中也讨论过；2.MQ∶MN=AC∶AM是同一篇论文的命题5．

下面才是阿基米德巧妙的根据力学原理去探索真理的方法：

假想各线段都是有重量的，而且重量和长度成正比．又HP是一根以K为支点的杠杆．因为MQ∶MN=HK∶KP，如果将MN放在H点，就可以和位于杠杆另一端的MQ平衡，P是MQ的重心．这关系对于任意的M都成立．弓形可以看作由许多这样的MN线段所组成，而△AFC由许多的MQ线段所组成．如果将所有的MN(也就是整个弓形)都放在H上(以H为重心)，就可以和△AFC平衡．弓形的重量可以看作完全集中在H点，而△AFC的重量也可以看作集中在它的重心上，这重心位于中线KC上，与K的距离是KC(=KH)的1/3，故弓形重量(即面积)是△AFC重量(即面积)的1/3．又△AFC=4△ABC，故知弓形ABCD的面积是△ABC的4/3．

中心思想

《方法》的中心思想，是要计算一个未知量(图形的面积、体积等)，先将它分成许许多多的微小量(如将面分成线段，将体积分成薄片等)，再用另一组微小量来和它比较．通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡．再将后一组微小量集合起来，它的总体应该是较易计算的．于是通过比较，即可求出未知量来．这实质上就是积分法的基本思想．阿基米德的睿智，业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了！因此，称他为近代积分学的先驱，毫不为过．当然，和积分法还有相当大的差距．表现在：1.没有说明微小量(或元素)是有限的还是无穷多，这在古希腊时代是不可能解决的问题；2.没有极限的思想，现代的积分，是一个极限值而不是一个简单的和；3.就事论事，没有形成抽象的概念及一般的法则．

成就

阿基米德运用这种富有启发性的方法，获得大量的辉煌成果，为后人开辟了一个广阔的领域．本篇后面的命题都是用类似的方法取得的．比较著名的的命题有：

命题2．球体积是以此球的大圆为底、以球的半径为高的锥体体积的4倍．

命题34及其推论．以球的大圆为底、球的直径为高的圆柱的体积是球体积的3/2倍．（也就是刻在阿基米德墓碑上的那个）

此外还有旋转椭圆体体积，旋转抛物线体体积及重心，半球的重心，以及相当复杂的圆锥体与球的交截体(两种立体相交的公共部分)等问题．在今天，只有用积分法才能解决，而阿基米德独辟蹊径，创立新法，取得正确的结果，使后人惊叹不已．

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