除以零

数学术语

数学中，将某数除以零可表达为a/0，即a除以零；此式是否成立端视其在如何的数学设定下计算。一般实数算术中，此式为无意义。在程序设计中，当遇上正整数除以零程序会中止，正如浮点数会出现NaN值的情况。

基本算术

简介

基本算术中，除法指将一个集合中的物件分成若干等份。例如，10个苹果平分给5人，每人可得10/5 = 2个苹果。同理，10个苹果只分给1人，则他/她可得10/1 = 10个苹果。

那0除以0的结果又是几呢

因为任何数乘0都得0，所以是NaN。

这个问题本身是没有意义的，根本无人来，谈论每“人”可得多少根本多余。所以，10/0，在基本算术中，是无意义或未下定义的。

第二种解释是将除法理解为不断的减法。例如“13除以5”，换一种说法，13减去两个5，余下3，即被除数一直减去除数直至余数数值低于除数，算式为13/5 = 2……3。若某数除以零，就算不断减去零，余数也不可能小于除数，使得算式与无穷拉上关系，超出基本算术的范畴。

另外，根据除法的意义，除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。如果除数为0，则：

① 当被除数不为0（例如3÷0），由于“任何数乘0都等于0，而不可能等于不是0的数（例如3）”，此时除法算式的商不存在——即任何数的0倍都不可能为非零数；

② 当被除数为0，即除法算式0÷0，由于“任何数乘0都等于0”，于是商可以是任何数——即任何数的0倍都等于0。

为了避免以上两种情况，我们通常不定义除数为0的除法运算。

早期尝试

婆罗摩笈多（598–668年）的著作Brahmasphutasiddhanta被视为最早讨论零的数学和定义涉及零的算式的文本。但当中对除以零的论述并不正确，根据婆罗摩笈多，

Ganita Sara Samgraha试图纠正婆罗摩笈多的错误，但不成功：

婆什迦罗第二尝试解决此问题。令n/0=∞，虽然此定义有一定道理，但会导致悖论（参见下面）。

代数处理

若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx = a中x的解（若有的话）。若设b = 0，方程式bx = a可写成 0x = a或直接 0 = a。因此，方程bx = a没有解（当a ≠ 0时），但x是任何数值也可解此方程（当a = 0时）。在各自情况下均没有的数值，所以1未能下定义。

除以零的谬误

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：2 = 1

由：0×1=0，0×2=0，

得出0×1=0×2。

两边除以零，得出0×1/0=0×2/0。

化简，得：1=2

以上谬论一个假设，就是某数除以0是容许的并且0 / 0 = 1。

虚假的除法

在矩阵代数或线性代数中，可定义一种虚假的除法，设a/b=ab+，当中b代表b的虚构倒数。这样，若b存在，则b = b；若b等于0，则0 = 0。参见广义逆。

数学分析

对于函数y=1/x，当x→0时，y→∞；反之亦然。

扩展的实数轴