除环

数学术语

在抽象代数中，除环（也称为斜体）是一个非零环，其中每个非零元素a都具有乘法逆，即具有x·a=a·x的元素x。换句话说，一个环当且仅当单位组等于所有非零元素的集合的时候它是一个除环。除环是一种不可交换的环。

定义

除环（division ring），又译反称域或体（skew field）、体，是如下定义的一个环：存在非零元，且所有非零元都存在逆元（同时为左逆元与右逆元），这些非零元称为单位(Unit)

在抽象代数中，除环（也称为斜体）是可以进行分割的环。具体来说，它是一个非零环，其中每个非零元a都具有乘法逆，即具有的元素x。换句话说，一个环当且仅当单位组等于所有非零元的集合的时候它是一个除环。除环属于非交换环。

除环不同于域，其区别在于除环不必要符合交换律。所有域都是除环。不符合交换律的除环（斜体），例子有四元数体。然而，通过韦德伯恩的小定理，所有有限除环都是可交换的，因此是有限域。

历史上，除环有时被称为域，而域称为“交换域”。

所有除环都是单的。即没有零理想和本身之外的非平庸双边理想。

关系

所有域都是除环；更有趣的例子是不可交换的除环。最着名的例子是四元数H的环。如果在四元数的构造中只允许有理而不是实系数，我们得到另一个除环。一般来说，如果R是一个环，而S是R上的一个简单模块，那么，由舒尔引理，S的内同位环是一个除环；每个除环以这种方式从一些简单的模块出现。

线性代数的大部分可以通过划分环D而不是场上的向量空间来形成并保持正确。这样做必须指定是否正在考虑右侧或左侧的模，并且需要注意正确区分公式中的左侧和右侧。在坐标上，有限维度右模块的元素可以由列向量表示，列向量可以在右边乘以标量，左边乘以矩阵（表示线性图）；对于有限维左模块的元素，必须使用行向量，其可以在左边乘以标量，右边乘以矩阵。右模块的双重模块是左模块，反之亦然。矩阵的转置必须被视为相对除环Dop的矩阵，以便使规则保持有效。

每个模都具有基，并且模的所有基底具有相同数量的元素。可以通过矩阵来描述除环上的有限维模之间的线性映射；通过定义通过标量乘法通过线性映射的事实通过将它们写在与向量相反的一侧，以符号表示。高斯消除算法仍然适用。矩阵的列等级是由列生成的右模的维度，行等级是由行生成的左模的维度；可以使用与向量空间情况相同的证明来证明这些等级是相同的，并且定义矩阵的秩。

事实上，相反的也是正确的，并且通过它们的模范畴给出了除环的表示：当且仅当每个R模是空闲时，单环R是除环。

若除环可交换的，则是一个域。因此，每个除环是其中心的除代数。除环可以根据它们在其中心是有限维还是无限维进行粗略分类。前者称为中心有限，后者称为中心无限。当然，每个域都是一维的。哈密顿算子的四元数环在它的中心上形成一个四维代数，它与实数是同构的。

举例

（1）如上所述，所有域都是除环。

（2）有理的四元数环是非交换分割环。

（3）让是域C的构。让表示具有复系数的正式洛朗系列的环，其中乘法定义如下：对于每个，我们可以使用，而不是简单地允许系数直接交换。如果是复数的一个自相似（如共轭），那么得到的洛朗系列的环是一个严格的非交换性除环，被称为偏斜洛朗系列环，如果，则它具有正式系列的标准乘法。给定一个F自同态，这个概念可以推广到任何固定域F的洛朗系列环。

环定理

韦德伯恩的小定理：所有有限除环是可交换的，因此是有限域。

尼乌斯定理：在实数域上，仅有的有限维的除法的结果都是实数、复数和四元数。