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陪域

数学概念

陪域(Codomain)又称上域、到达域。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射。关系G常使用另一些记号：f：X→Y等，f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立，可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量，同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域，记为D(f)或dom(f)；终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f)；Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|∃x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f)；当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象，y的所有原象所成之集用f-1(y)表示；对于A⊆X，所有A中元素的象的集合{y|∃x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象，记为f(A)；对于B⊆Y，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧∃y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象，记为f-1(B)。

基本介绍
设A、B是集合，若存在对应关系 使A中每个元素a在B中有且仅有唯一元素b与之对应．则称 是从A到B的映射，记作 。称元素b为元素a的象，元素a为元素b的象源，记作 。称集合A为映射 的定义域，记作 或 。称集合B为映射 的陪域，B中所有象元素组成的集合为映射的值域，记作 或 或 。
单射、满射与双射
数学上，单射、满射和双射指根据其定义域和陪域的关联方式所区分的三类函数。
单射：指将不同的变量映射到不同的值的函数。
满射：指陪域等于值域的函数， 即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。
双射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。
图1~图4对比了四种不同的情况：
单射
一个函数称为单射（一对一）如果每个可能的像最多只有一个变量映射其上，等价的有，一个函数是单射如果它把不同值映射到不同像，一个单射函数简称单射，形式化的定义如下，
函数是单射当且仅当对于所有，我们有
一个函数是单射当且仅当A是空的或是左可逆的，也就是说，存在一个函数使得上的恒等函数，
因为每个函数都是满射当它的陪域限制为它的值域时，每个单射导出一个到它的值域的双射。更精确的讲，每个单射可以分解为一个双射接着一个如下的包含映射。令为把陪域限制到像的，令为从到B中的包含映射，则。一个对偶的分解会对满射成立。
两个单射的复合也是单射，但若是单射，只能得出是单射的结论，参看图5。
满射
一个函数称为满射，如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说陪域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下：
函数为满射，当且仪当对任意b∈B，存在满足。
函数为一个满射，当且仅当存在一个函数满足等于Y上的单位函数。（这个陈述等同于选择公理。）
将一个满射的陪域中每个元素的原像集看作一个等价类。我们可以得到以该等价类组成的集合（原定义域的商集）为定义域的一个双射。
如果和皆为满射，则为满射， 如果是满射，则仅能得出是满射，参见图6。
双射
既是单射又是满射的函数称为双射，函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应，
函数为双射当日-仅当对任意b∈B存在唯一满足。
函数为双射当且仅当其可逆，即，存在函数满足上的恒等函数，且为B上的恒等函数。
两个双射的复合也是双射． 如为双射，则仅能得出为单射且为满射，见图7。
同—集合上的双射构成一个对称群。
如果X，Y皆为实数R，则双射函数可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次。（这是水平线测试的一个特例。）
例1 对于函数，如果选择的定义域和陪域不同，映射的性质就可能不同，如表2所示。
和值域的区别
映射定义为集合A到B的对应关系，并且满足对于每一个A中的元素（原象）都存在惟一的B中的元素（象）与之对应。
那么我们把A称为这个映射的定义域，把B称为陪域。
把B中的一个特殊的子集：所有A中元素在B中的象的集合叫做值域。
所以：形象地说值域就是象集合，陪域是包含值域的任意集合。
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