随机序列

随机变量组成的数列

随机序列（random sequence），也称随机数列，全称随机变量序列，是由随机变量组成的数列。它在概率论和统计学中都十分重要。

简介

随机数列的概念在概率论和统计学中都十分重要。整个概念主要构建在由随机变量组成的数列的基础之上，因此每每提及到随机数列，人们常常会这样开场：“设为随机变量……”但是也如同美国数学家得瑞克·亨利·雷莫在1951年时说的那样：“随机数列是一个很模糊的概念……它每一项都是无法预测中的无法预测，但是这些数字却能够通过传统的统计学上的考验。”

概率公理有意绕过了对随机数列的定义。传统的统计学理论并没有直接阐明某个数列是否随机，而是直接跳过这部分，在假设某种随机性存在的前提之下讨论随机变量的性质。比如布尔巴基学派就认为，‘假设一个随机数列’这句话是对术语的滥用。

历史发展

法国数学家埃米尔·博雷尔是1909年第一批给出随机性的正式定义的数学家之一。在1919年，受大数定理的启发，奥地利数学家理查德·冯·米泽斯给出了第一个算法随机性的定义。但是，他使用了“集合”这个词，而不是“随机数列”。利用赌博系统的不可能性，冯·米泽斯定义道：若由0和1构成的无穷数列具有“频率稳定性的特点”，也就是说，0的频率趋进于1/2，且该数列的每个“以适当方式选取的”子数列也都没有偏差，那么我们说，这个数列是“随机的”。

冯·米泽斯的这个方法中，“适当选取子数列”的标准非常重要，因为虽然说“01010101……”本身没有偏差（0出现的概率为1/2），但是若我们只选奇数位置上的数字，得到的子数列便成了完全不随机的“000000……”。冯·米泽斯未曾就这个问题正式给出一个选取规则上的解释。1940年，美国数学家阿隆佐·邱奇将这个规则定义为“任何已经读取该无穷数列的前N项，并决定是否读取其第N+1项的递归函数。”邱其是可计算函数方面的先驱，他给出的这个定义的可计算性基于邱奇－图灵猜想。这个定义经常被称作“米泽斯-邱其随机性”（英文：Mises-Church randomness）。

定义

随机序列的产生为了形容随机变量形成的序列。

一般的，如果用（表示下标于）代表随机变量，这些随机变量如果按照顺序出现，就形成了随机序列，记做（表示n上标于x）。这种随机序列具备两种关键的特点：其一，序列中的每个变量都是随机的；其二，序列本身就是随机的。

举例说明

为了说明什么是随机序列，这里来举两个例子。

假设持续扔一个骰子，会得到一系列随机数，即1到6的整数，将连续掷骰子作为一个事件，那么这个事件应该包括扔第一次骰子得到的点数，扔第二次得到的点数，直到扔第次得到的点数。把每次扔的的点数按顺序分别记做。这里每个X的取值可能为。那么我们可以写出随机序列：

更实际的，可以用高速路收费站来说明。假设一个收费站有10个出口。那么，把收费站出口出去的车数记做随机变量，这里就是集合，集合中每个元素的取值为。那么如果按照时间顺序观察，不难得出一个随机序列，这个序列表示出口出去车数的一个变化情况，是一个序列，记做：。

处理随机数列的方式

现如今，有三个处理随机序列的方式：

1.频率-测量理论法

这个方法建立在前文的米泽斯和邱其的方法的基础之上。在1960年代，佩尔·马丁-洛夫注意到，人们能够写下基于频率生成随机数列的代码，而这些代码的集合是一种特殊的零测度集。在此基础之上，通过利用所有的零测度集，人们能够得到一个更加放之四海而皆准的随机序列定义。

2.复杂度-可压缩度法

柯尔莫哥洛夫本人对这个方法贡献巨大，其次还有列文和阿根廷裔美国数学家格里高列·蔡廷等也作出了一定的贡献。对于有限项的随机数列，柯尔莫哥洛夫将它的随机性定义为“熵”，也就是后来的柯氏复杂性。这个定义下，一个包含了0与1组成的、长度为的字符串（或者数列，二者并无本质上的区别），其“熵”的大小为这个数列的最短描述的长度和的接近程度。字符串的复杂度越接近于，它也会越随机；而字符串的复杂性越低于，它也就越不随机。

3.可预测性法

这个方法由德国数学家克劳斯·施诺提出。他用了一个和传统概率论稍有不同的鞅的定义。他证明了“若人们拥有一个下注策略，可以从多种可能中选择出最优的方案，那么人们也可以用类似的策略选出一个有偏差的子集。”如果人们只需要一个递归性的鞅（而不是构造的方式）便能够成功选出数列的话，那么人们就该使用递归随机性的概念中。美国数学家Yongge Wang则证明出，递归随机性和施诺的随机性并不是同一个概念。

这三个方式在大多数情况下被证实是等价的。

需要注意的是，按照以上任意一个关于无限数列的随机性定义，由于都是着眼于随机性趋势，因此对数据开头部分的随机性不敏感。如果在随机数列的第一项前插入哪怕一百万个0，得出的仍然会是随机数列。因此，应用这几个定义时应该小心谨慎。

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