随机积分

对某些随机过程类适当定义的各种积分的总称

随机积分是对某些随机过程类适当定义的各种积分的总称。它们在随机过程与随机微分方程的研究和应用中各有其重要的作用。

概念简介

随机分析（Stochastic Analysis）主要研究现代随机积分和随机微分方程。现代鞅论是随机积分的基础，它的内容主要的有测度论的条件期望、连续时间鞅、停时过程、可选过程、可料过程、测度的投影、截口定理、半鞅的Doob-Meyer分解、可变变差鞅、平方可积鞅、局部鞅等。然后从可料过程对L2鞅的随机积分开始，逐步深入到对一般适应过程的随机积分。Ito引理、Ito公式、Girsanov定理、Brown局部鞅的随机积分表示、半鞅局部时是随机分析的重要工具。其中，Girsanov定理给出的测度数变换在现代数理金融学中有重要的意义。随机微分方程的强解和弱解问题、解一类随机微分方程等也是随机分析的主要内容。

分类

伊藤积分

这是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续，但几乎所有的样本函数非有界变差，甚至处处不可微，因而无法按样本函数来定义通常的黎曼－斯蒂尔杰斯积分（简称RS积分）或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称LS积分）。一般来说，RS积分定义中的达布和不会以概率1收敛到一定的极限，但在适当的条件下，达布和的均方极限存在。伊藤清正是利用这一性质定义了对布朗运动的随机积分。设t∈R+= 【0，∞）}是一族上升的子σ域，布朗运动W={W(t),t∈R+} 是鞅。如果样本连续的有界随机过程φ={φ(t),t∈R+}是适应的，那么当有限区间【α，b】嶅R+的分割随机积分的直径PI噬菌体共转导频率趋于零时，达布和的均方极限存在，记作随机积分，它称为φ在区间【α，b】上对W 的伊藤积分。值得注意的是，在达布和的构造中，被积过程在【tk-1,tk】上的取值点不是随意一点，而只能是它的左端点 tk-1。这是一个严格的限制。完全不加限制时其极限不存在，如作其他的限制，则可能得到另外的极限，从而定义出另外的积分，但最有用的是这种限制。伊藤积分最重要的性质是著名的伊藤公式：设F是二次连续可微的实函数，则这一公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用。例如，可以用来证明关于布朗运动的鞅刻画的莱维定理：一个从零出发的样本连续过程W={W(t),t∈R+} 为布朗运动的充要条件，是W 和{W 2(t)-t,t∈R+} 都为鞅。

对平方可积鞅的随机积分

使E的鞅x={x(t),t∈R+} 称为平方可积鞅，其中x（∞）是当t→∞时，x(t）以概率1 收敛的极限。对一个平方可积鞅x,-x2是类（D）上鞅，因此根据上鞅分解定理，x 2仅可表成一致可积鞅M和可料增过程A 之和，X 2(t)=M(t)+A(t）。由此，对任何样本连续的有界适应过程 φ，当[α，b)]的分割的直径δ（墹）趋于零时，达布和随机积分的均方极限存在，这个极限就称为φ 在【α，b）】上对x的。这种积分也有相应的伊藤公式：对二次连续可微的函数F，

右边最后一项是按轨道的LS积分，可料增过程A的轨道是右连续增函数。这种随机积分还可以进一步推广到对局部鞅以至半鞅的积分。

在伊藤积分定义的达布和中，如果用在小区间【tk-1,tk】中点的被积过程值φ（或者等价地，用在两个区间端点的过程值的算术平均代替左端点的过程值φ（tk-1），则均方极限也存在，但此极限与伊藤积分不相同，它定义了用斯特拉托诺维奇命名的另一种积分，记作这种积分的一个优点是，对一个三次连续可微的函数F，

它保持了普通微积分中牛顿-莱布尼茨公式的形式。

其他类型的随机积分

常见的还有均方和对正交增量过程的积分。对一个均方连续的随机过程x，即对一切t0∈R+满足随机积分的x，达布和的均方极限存在，它定义了x在区间【α，b）】上的均方，记作其中是【α，b】的分割，sk可在【tk-1,tk】上任取，均方极限是在δ（墹）趋于零的条件下取的。设Z 是一个正交增量过程，即对一切那么对任一[α，b]上的连续函数ƒ，达布和的均方极限定义了ƒ在[α，b]上对Z的积分，记作。这种对正交增量过程积分的最重要的应用是宽平稳过程的谱表示（见平稳过程）。

随机微分方程

形如方程称为伊藤方程，其中α（s,x）、σ（s,x) 是一次连续可微的二元函数，W是布朗运动，X是待求的半鞅。由于形式上还可以将方程改写为 dx(t) = α(t,x(t))dt + σ(t,x(t))dW(t) 这种微分表示，习惯上常称为（伊藤）随机微分方程。理论上对它已有很多研究，解的存在唯一性问题已经解决，并且有各种形式的推广，如用半鞅代替布朗运动等。但能把解明确表达出来的还只有少数简单的特例，如对x(0) = 1，α(s,x) = 0，σ(s,x) = x，方程有唯一解它是一个样本连续鞅。

此外，对于均值函数为零的实二阶过程x（见随机过程），可定义其各阶均方导数。若x的协方差函数 Г(s,t)=Ex(s)x(t) 二次连续可微，则差商 [x(t+Δt)-x(t)]/Δt当 Δt→0 时的均方极限总存在，它定义了x的一阶均方导数随机积分。一般地，若 Г(s,t)2n次连续可微，则x的n阶均方导数存在。联系着一个二阶过程x及其各阶均方导数之间的方程，如等，称为均方随机微分方程。求解它，就是要找出满足该关系式的二阶过程x。例如在初值x(0)=ξ下的唯一解是其中α是实常数，ξ为已知的随机变量，Y为已知的均方连续随机过程，而积分是均方随机积分。

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