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插空法

数学术语

插空法，数学术语，是用来解决某些元素不相邻的排列组合题，即不邻问题。在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。用这种方法解题思路清晰、简便易懂。

方法简介
插空法就是对于解决 某几个元素要求不相邻 的问题时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置。首要特点就是不相邻。下面举例说明。
（1）例1：把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字 1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？
解析：本题直接解答较为麻烦，因此可先将 3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将 1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有种。
（2）例2：在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
解析： -o - o - o - o - o - o - ，即六个节目算上前后共有七个空位，那么加上的第一个节目则有种方法； 此时有七个节目， 再用第二个节目去插八个空位有种方法； 此时有八个节目， 用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：种。
插板法
基本题型
基本题型为：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素；则只需在 n 个元素的n-1 个间隙中放置 m-1 块隔板把它隔成 m 份，求共有多少种不同方法？
其解题思路为：将 n 个相同的元素排成一行， n 个元素之间出现了（ n-1 ）个空档，现在我们用（ m-1 ）个 “档板 ”插入（ n-1 ）个空档中，就把 n 个元素隔成有序的 m 份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个、 ….），这样不同的插入办法就对应着 n 个相同的元素分到 m 组的一种分法，这种借助于这样的虚拟 “档板 ”分配元素的方法称之为插板法。
例题：共有 10 完全相同的球分到 7 个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？
解析：我们可以将 10 个相同的球排成一行， 10 个球之间出现了 9 个空隙，现在我们用 6 个档板 ”插入这 9个空隙中，就 “把 10 个球隔成有序的 7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个），这样，借助于虚拟 “档板 ”就可以把 10 个球分到了 7 个班中。
基本题型的变形
（1）变形1：有 n 个相同的元素，要求分到 m 组中，问有多少种不同的分法？
解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为 “0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上 1 个，这样所要元素总数就 m 个，问题也就是转变成将（ n+m ）个元素分到 m 组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。
例题：有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（ ）种不同方法 。
解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加 1 个，则球的总数为 8+3 ×1=11，此题就有 C（10 ，2） =45（种）分法了。
（2）变形2：有 n 个相同的元素，要求分到 m 组，要求各组中分到的元素至少某个确定值 S（ s>1，且每组的 s值可以不同） ，问有多少种不同的分法？
解题思路： 这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值 s，各组分到的不是至少为一个了。 对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值 s 那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面提到的变形1的问题了，也就可以用插板法来解决。
例题：15 个相同的球放入编号为 1、2、 3 的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？
解析：编号 1：至少 1 个，符合要求；
编号 2：至少 2 个：需预先添加 1 个球，则总数 -1 ；
编号 3：至少 3 个，需预先添加 2 个，才能满足条件，后面添加一个，则总数 -2 ；
则球总数 15-1-2=12 个放进 3 个盒子里，所以 C（11，2）=55 （种）。
捆绑法
所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。注意：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
例题：6个不同的球放到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?
解答：根据题目要求，则其中一个盒子必须得放 2 个，其他每个盒子放 1 个球，所以从 6 个球中挑出 2 个球看成一个整体，则有，这个整体和剩下 4 个球放入 5 个盒子里，则有。方法是。
排列组合问题
排列组合问题从解法看，大致有以下几种：
(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏；
(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决；
(3)元素相邻，可以看作是一个整体的方法；
(4)元素不相邻，可以利用插空法；
(5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉；
(6)穷举法，把不符合条件的所有排列或组合一一写出来。
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