障碍问题

对容许函数有不等式条件限制的变分不等式问题

障碍问题(barrier problem)是对容许函数有不等式条件限制的变分不等式问题。来源于边界固定的弹性薄膜在定义区域的某内部子域位于某给定物体(障碍)上方的平衡问题。

概念

障碍问题(barrier problem)是对容许函数有不等式条件限制的变分不等式问题。来源于边界固定的弹性薄膜在定义区域的某内部子域位于某给定物体(障碍)上方的平衡问题。算子：

的障碍问题归结为如下的变分不等式：设Ω是R中的有界区域，边界∂ Ω光滑，aij∈L∞(Ω) ，(aij)为正定矩阵。定义双线性型：

并设ψ∈H1(Ω)，且在∂ Ω上ψ≤0。定义H10(Ω)的闭凸集Kψ={v∈H10(Ω)|v≥ψ}，求u∈Kψ使得对一切v∈Kψ成立a(u，v-u)≥0。以上所说的函数ψ就是给定障碍，u为障碍问题的解。点集：

称为重合集。重合集的边界是一个自由边界，因此障碍问题也是自由边界问题。

容许函数

一种特殊函数，指变分积分J(u)中满足一定条件的函数u。容许函数的集合称为容许函数类。例如最速落径问题中的容许函数是满足：

的一次可微函数，测地线问题中的容许函数v=v(u)要使相应曲线在给定曲面上等。

两个变量的数值之间的一种相依关系(或对应的规律)。设在某变化的过程中，有x和y两个变量，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作为y=f (x)，其中x叫做自变量，y叫做因变量。例如，我们可以把正方形的周长公式写成y=4x，其中x表示边长，y表示周长。那么，当x每取一个确定的值， y都有唯一确定的值与它对应，也就是说，正方形的周长y是边长x的函数。在含有一个字母的代数式中，我们可以把这个字母看作自变量，对于这个字母的每一个确定的值 (只要能使代数式有意义)，整个代数式都有唯一确定的值与它对应。所以，每个含有一个字母的代数式都是所含字母的函数。例如，x+3是x的函数， 1/t是t的函数，等等。

函数概念是数学上的一个非常重要的概念，它是从大量实际的问题中抽象出来的，它从数量关系方面体现事物的运动变化，用函数来研究变量不但是初等数学的重要内容，而且也是高等数学的重要分支。

变分问题

经典变分问题的推广和发展。将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束(即用不等式代替等式)的变分方法。它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具，也是变分学的一个重要发展。变分不等式的形式可以各种各样，以下的词条是其常见的形式。

变分法亦称变分学，研究泛函极值的一门学科。变分法主要研究泛函的变元函数使泛函达到极值的必要条件和充分条件，并研究求得该变元函数的方法及其性质。变分法的研究方法有直接法与间接法。直接法是直接由泛函去求得极值或判断相应极值问题是否有解；而间接法是先给出泛函达到极值的必要条件：欧拉-拉格朗日方程(亦称为欧拉方程)，然后在满足欧拉-拉格朗日方程的解中，利用各种充分条件来判断变分问题是否有解。

变分法的历史可追溯到古希腊，那时就有了所谓等周问题：在长度一定的封闭曲线中，找出围出最大面积的一条封闭曲线。另一著名的问题即最速落径问题是由伽利略(Galilei，G.)首先提出的。但对变分法实质性研究还是从1696年，约翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)公开向欧洲数学家给出该问题的解开始，洛必达(L'Hospital，G.-F.-A.de)、雅可比(Jacobi，C.G.J.)、约翰第一·伯努利、莱布尼茨(Leibniz，G.W.)、牛顿(Newton，I.)用了不同的方法解决了这个问题。后来欧拉(Euler，L.)和拉格朗日(Lagrange，J.-L.)对这一类问题的研究奠定了变分法的理论基础。变分法这一名词由拉格朗日首次提出来，一直沿用下来。

人们研究变分法，是因为社会和自然诸多领域都存在变分原理的实际背景.社会追求效益，投入一定时，希望产出最大；或产出一定时，希望投入最小.某些现象中，自然也依最简单最有效的方式运行。牛顿在《自然哲学的数学原理》中写到：“自然不做任何徒劳无益的事情，浪费愈多，服务愈少。自然喜欢简单性而不为浮华所动”。现代科学早期就依最优原理表达某些自然规律。这一原理看来在一定程度上反映了宇宙的先验的和谐性，特别吸引那些为知识的统一性和简单性而奋斗的科学家。事实上，确实有许多自然规律可用极值原理来表达。第一个发现这种类型的原理是公元前100年，亚历山大的海伦(Heron，(A))提出的，他用光总走最短路径解释光的反射定律.1662年，费马(Fermat，P.de)从光总是依最快的路径从一点传播到另一点这一假设推导出光折射定律。这一假设现在称为费马原理。大约80年后，莫佩蒂(Maupertuis，P.-L.M.de，普鲁士科学院院长)断言，如果自然发生了什么变化，那么对这一变化所付出的作用量必然是最小的。莱布尼茨对作用引进量纲是“能量×时间”，按照普朗克(Planck，M.)的量子原理(1900年)，这个量是基本量子h的整数倍。在莫佩蒂的著述中，作用原理含糊不清，不十分令人信服，受到伏尔泰(Voltaire)的无情嘲讽。这或许使得拉格朗日将1788年的“分析力学”建立在达朗贝尔原理的基础上而非最小作用原理的基础上，尽管他早在1760年对这一原理已有了相当明确的一般数学提法。很晚以后，哈密顿(Hamilton，W.R.)和雅可比才给这一原理以令人满意的形式，大概是亥姆霍兹(Helmholtz，H.von)把它提高到最普遍的物理规律的行列.20世纪前半期，物理学家主要热衷于用空间时间微分方程描述自然规律，现在最小作用原理又明显回潮。

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