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雅可比行列式

高等数学名词

雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式 。事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。 若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式；这常用于重积分的计算中。

正文
雅可比行列式是以n个n元函数 的偏导数为元素的行列式，常记为 。事实上,在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，函数组的微分形式为 的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。
如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负。如果雅可比行列式恒等于零，则函数组是函数相关的，其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。
证明
若因变量 对自变量 连续可微，而自变量 对新变量 连续可微,则因变量 对新变量 连续可微，且
这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。偏导数的连锁法则也有类似的公式。如当(u，v)对(x，y，z)连续可微，而(x，y，z)对(r，s)连续可微时，便有
若上式中r能回到u，则
这时必须有 。
于是以此为系数行列式的联立线性方程组中能把 解出来。
由隐函数存在定理可知，在 对连续可微的前提下,只须 便足以保证 也对 连续可微。这样,连续可微函数组便在雅可比行列式不等于零的条件之下,在每一对相应点u与x的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。
在n=2的情形，以Δx1,Δx2为邻边的矩形(ΔR)对应到(u1,u2)平面上的一个曲边四边形(ΔS),其面积ΔS关于Δx1,Δx2的线性主要部分，即面积微分是。这常用于重积分的计算中。
如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负（其正负号标志着u-坐标系的旋转定向是否与x-坐标系的一致）。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。
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