集合悖论

逻辑理论术语

弗雷格对这一悖论曾作了准确表述：“现在让我们集中注意这个概念：不属于自身的类。因此这个概念的外延（如果我们可以谈论它的外延的话）就是，不属于自身的那些类构成的类。为简化起见，我们称它为类K。让我们问，这个类K是不是属于自身。首先，让我们假定它属于自身。如果一个东西属于一个类，那么它就归属于以这个类为其外延的概念。这样，如果类K属于自身，那么它就是一个不属于自身的类。因此我们的第一个假定导致自相矛盾。第二，让我们假定类K不属于自身，这样它就归属于自身为其外延的概念，因此就属于自身。这里我们又一次得到同样的矛盾。”

后果

集合论悖论导致了逻辑理论基石的动摇，至今仍然是尚未弄清的问题。以概念具有结构系统的观点来考察，所谓“集合论悖论”本质上是一个简单的逻辑错误。

缺陷

从弗雷格的表述可以看出，集合论悖论涉及到概念结构系统里上下两级类概念：一是“不属于自身的类”，一是“不属于自身的那些类构成的类”。同时也涉及到集合概念。而集合论悖论恰恰没有理清这些概念间的关系。

1、考察“集合”概念

追踪造成集合论悖论的原因，首先应当审察“集合”这一概念。

集合概念在思维和语言中是大量存在的，如柴堆、丛书、牛群、羊群、工人阶级等等。上述例子都是在个体层面中以多个个体为元素构成的集合，其实，在概念系统的高级层次中也能构成集合，如动物群、生物群等。由此可以看出，集合是概念结构系统里某一层面一定范围中的元素横向结合而成的整体。也可以形象地说，集合是寄生在类概念结构系统中一定层面的块状物。这种集合概念是与类概念完全不同的，它与概念系统中原先的上下级类概念不再具有类属关系。例如，羊群不再类属于动物，某一只羊也不类属于羊群，因而不能按类属关系作性质上的推导。我们不能根据动物的属性来推论羊群的属性，也不能根据羊群的属性来推论某一只羊的属性。

但是集合论的创始人康托尔在给集合下定义时说，所谓集合，“就是人们在直觉或思维中能加以综合概括的任意确定的能与其他事物区别的对象汇总在一起所得的整体”康托尔的解释，离开了概念的结构系统，因而模糊了集合与类这两种不同概念的区别。他的所谓“任意确定的整体”可以是一个集合，也可以是一个类。我国学者朱水林先生指出，以集合概念为基础的集合论恰恰“总是把集合和类看成一样的”，并且“不加限制地使用”，这样，造成矛盾是不可避免的。

集合论悖论中的“类K”实际上不是一个概念，而是暗含了两个概念。正因为如此，弗雷格才能对它作出两个假定：“属于自身”和“不属于自身”。能够属于自身的是集合概念，因为集合论约定一个集合可以成为自身的元素；不属于自身的则可以是类概念，因为一个类只属于上一级的类，不可能属于自身。在三段论推理中，一个名词暗含两个概念，势必犯“四名词”错误。在集合论悖论中，“类K”暗含两个概念，因而推出矛盾结论是非常自然的。集合概念与上下级类概念没有性质上的一致性，不能作性质上的推导，因而集合概念所构成的命题不能当作类概念的命题来作三段论推理。弗雷格混淆了集合概念与类概念的区别，所以，他用“类K”所作的“属于自身”或“不属于自身”的推论其实都是不当的推论。

我国学者张家龙先生说：“集合论悖论的发生是由于混淆了集合和真类，把真类当成集合。”这无疑也是十分中肯的。

2、考察“自身”一词

在语言中，“自身”与“自己”、“本身”等词一样是具有指称功能的返身代词，它可以站在概念结构系统里的每一个概念的角度来进行自我指称。

返身代词的这种巨大能动性，正是造成“本语句是假的”之类所谓“语义悖论”的重要原因。在这里，“本语句”的指称辖域是不明确的,它可以指“本语句”，也可以指“本语句是假的”、“‘本语句是假的’是假的”……等等。随着指代的推移，再叠加以否定性的断定，就象负数的乘法一样可以得到真、假、真、假……等一系列循环性的真值。古希腊智者们常用这种游移概念的手段来做愚弄人的语言游戏。

在集合论悖论中，“自身”一词既可以指“不属于自身的类”，又可以指“不属于自身的那些类构成的类”这两个不同层次的概念。此一“自身”与彼一“自身”本已难于分清，在这浑水之下还掩藏了一个更关键性问题，即：此一“自身”的“不属于自身”的性质能否顺延为彼一“自身”的性质。

3、考察“不属于自身的那些类构成的类”

当自身一词由指代“不属于自身的类”到指代这个类构成的类的时候，人们凭着常识不假思索地认定，这个类的类仍然保持着“不属于自身”的性质，并且应当归属于“不属于自身”的类。这个由罗素、弗雷格等人经过仔细检查自以为万无一失的推论，却正是失之所在。

概念的形成过程明示我们，某一性质为一类事物所共同具有，那么这一性质就只能形成一个类的概念。具有这一性质的对象不管有多少个，不管存在于什么地方，都毫无例外地属于这个类，不可能再形成同一性质的类的类。正如男人的男人、动物的动物不能成立一样，“不属于自身”的类所构成的类是不可能成立的，同理，“属于自身”的类所构成的类也是不能成立的。当然，一个类之上可以形成高一层次的类，但高一层次的类正是在舍弃了低一层次类的特有属性的基础上由高一层次的共有属性所构成。男人之上的类应当是人，动物之上的类应当是生物。如果在“不属于自身”的类之上还有一个类，那么，这个类的类便不再以“不属于自身”为共有性质。如果还按这一性质来推论，推出悖论便在所难免。

“不属于自身”的类的类或者“属于自身”的类的类与“方的圆”等怪诞概念有某些相似之处，都代表子虚乌有之物。它们不但在客观世界中不存在，而且在人的思维中不存在，甚至在想象中也无法存在。我国学者张铁声先生证明了被称为“罗素集”的“类K”不存在。这样的概念只能是一种语言的存在，即语言符号的任意构造物。但是，集合理论恰恰允许任意的构造。弗雷格在《算术的基本规律》第一卷给出概括原则，它断言：“每一性质决定一个集合”，详细的说法是：任意给出一个性质P，存在着一个集合S，它的元素恰好是具有性质P的那样一些对象。这个原则为脱离人类思维中概念结构系统的制约，完全凭借语言符号任意构造概念开了方便的绿灯。应当承认，一个性质是能够形成一个类或一个集合。但是，这种性质是有限制的，它必须来源于客观事物、客观规律，来源于人类概念结构或知识结构。脱离这种限制的“每一性质”就有可能产生诸如“不属于自身的”类的类这样层次结构混乱的概念，或“方的圆”这样不可思义的概念。以这种概念构造逻辑系统，产生悖论和怪论都是一种必然。弗雷格晚年曾意识到，集合论悖论是由无指称对象的专名引起的。他写道：“对思维可靠性的灾难是：存在一种用语言创造没有相应对象的专名的倾向。……由此就产生了集合论悖论。我自己就被这种骗人的外表所愚弄，我企图通过把它们看作集合而给出数的逻辑基础。”

中国有句古诗“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，用爱因斯坦的哲学语言来解释，就是：我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思考层次上解决。同样，集合论悖论也只有跳出集合论的思考层次才能解决。概念具有结构系统的观点为我们对集合论悖论进行显微观察提供了可能。拨开重重迷雾，不难发现，集合论悖论只不过是一种混淆概念、游移概念和任造概念所造成的简单逻辑错误。

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