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集合运算

数学科学用语

集合运算是数学科学中常用的词语，是一种非常有效的构造形体的方法，可以直观的减少运算难度。

概念
集合运算是实体造型系统中非常重要的模块，也是一种非常有效的构造形体的方法。从一维几何元素到三维几何元素，人们针对不同的情况和应用要求，提出了不少集合运算算法。
在早期的造型系统中，处理的对象是正则形体，因此定义了正则形体集合运算，来保证正则形体在集合运算下是封闭的。在非正则形体造型中，参与集合运算的形体可以是体、面、边、点，运算的结果也是这些形体，这就要求集合运算算法中能统一处理这些不同维数的形体，因此需要引入非正则形体运算。
1、正则集与正则集合运算算子
Tilove根据点集拓扑学的原理，给出了正则集的定义。认为正则的几何形体是由其内部点的闭包构成，即由内部点和边界两部分组成。对于几何造型中的形体，规定正则形体是三维欧氏空间中的正则集合，因此可以将正则几何形体描述如下：
主要类型
设G是三维欧氏空间R3中的一个有界区域，且G=bG∪iG，其中bG是G的n－1维边界，iG是G的内部。G的补空间cG称为G的外部，此时正则形体G需满足：
1)bG将iG和cG分为两个互不连通的子空间；
2)bG中的任意一点可以使iG和bG连通；
3)bG中任一点存在切平面，其法矢指向cG子空间
4)bG是二维流形。
对于正则形体集合，可以定义正则集合算子。设是集合运算算子（交、并或差），如果R3中任意两个正则形体A、B作集合运算：
R=AB
运算结果R仍是R3中的正则形体，则称为正则集合算子，正则并、正则交、正则差分别记为∪*，∩*、-*。
分类
几何造型中的集合运算实质上是对集合中的成员进行分类的问题，Tilove给出了集合成员分类问题的定义及判定方法。
Tilove对分类问题的定义为：设S为待分类元素组成的集合，G为一正则集合，则S相对于G的成员分类函数为：
C(S,G)={S in G，S out G，S on G}， （3-2-1）
其中，
S in G=S∩iG，
S out G=S∩cG，
S on G=S∩bG，
如果S是形体的表面，G是一正则形体，则定义S相对于G的分类函数时，需考虑S的法向量。记-S为S的反向面。形体表面S上一点P相对于外侧的法向量为NP(S)，相反方向的法向量为- NP(S)，则（3-2-1）式中S on G可分为两种情况：
S on G ={S shared(bG)，S shared(-bG)}，
其中，
S shared(bG)={P|P∈S，P∈bG，NP(S)=NP(bG)},
S shared(-bG)={P|P∈S，P∈bG，NP(S)=-NP(bG)}。
于是，S相对于G的分类函数C(S,G)可写为：
C(S,G)={S in G，S out G，S shared(bG)，S shared(-bG)}。
由此，正则集合运算定义的形体边界可表达为：
b(A∪B)={bA out B，bB out A，bA shared(bB)}，
b(A∩B)={bA in B，bB in A，bA shared(bB)}，
b(A-B)={bA out B，-(bB in A)，bA shared(-bB)}。
3．集合运算算法
正则集合运算与非正则形体运算的区别在于增加了正则化处理步骤。下面，我们给出一个非正则形体的集合运算算法。
假定参与集合运算的形体为A和B，运算的结果形体C=AB，其中集合运算符为通常的集合运算并、交、差（È 、Ç 、- ）。
对于一个非正则形体L，可以将其分解为L=L3ÈL2ÈL1ÈL0，其中L3为R3中的正则闭集之并，存在面表、边表、点表等拓扑元素。L2是悬面集，存在边表和点表。L1是悬边集，只有端点。L0是孤立点集。
集合运算整个算法包括了以下几部分：
(1)求交：参与运算的一个形体的各拓扑元素求交，求交的顺序采用低维元素向高维元素进行。用求交结果产生的新元素（维数低于参与求交的元素）对求交元素进行划分，形成一些子元素。这种经过求交步骤之后，每一形体产生的子拓扑元素的整体相对于另一形体有外部、内部、边界上的分类关系。
2)成环：由求交得到的交线将原形体的面进行分割，形成一些新的面环。再加上原形体的悬边、悬点经求交后得到的各子拓扑元素，形成一拓扑元素生成集。
(3)分类：对形成的拓扑元素生成集中的每一拓扑元素，取其上的一个代表点，根据点/体分类的原则，决定该点相对于另一形体的位置关系，同时考虑该点代表的拓扑元素的类型（即其维数），来决定该拓扑元素相对于另一形体的分类关系。
(4)取舍：根据拓扑元素的类型及其相对另一形体的分类关系，按照集合运算的运算符要求，要决定拓扑元素是保留还是舍去；保留的拓扑元素形成一个保留集。
(5)合并：对保留集中同类型可合并的拓扑元素进行合并，包括面环的合并和边的合并。
(6)拼接：以拓扑元素的共享边界作为其连接标志，按照从高维到低维的顺序，收集分类后保留的拓扑元素，形成结果形体的边界表示数据结构。
集合的运算
并
主条目：并集
并集是将A和B的元素放到一起构成的新集合。
定义
给定集合A，B，定义运算∪如下：A∪B = {e|e∈A 或 e∈B}。A∪B称为A和B的并集。
A 和 B 的并集
示例
基本性质
作为集合间的二元运算，∪运算具有以下性质。
交换律：A∪B = B∪A；
结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)；
幂等律：A∪A = A；
幺元：∀集合A，A∪ = A；（是∪运算的幺元）。
交
主条目：交集
A和B的交集，写作A∩B，是既属于A的、又属于B的所有元素组成的集合。
若A∩BA和B称作不相交。
A 和 B 的交集
定义
给定集合A，B，定义运算∩如下：A∩B = {e|e∈A 且 e∈B}。A∩B称为A和B的交集。
基本性质
作为集合间的二元运算，∩运算具有以下性质。
空集合：∀集合A，A∩ = ；（是∩运算的空集合）。
其它性质还有：
示例
{1, 2}∩{红色, 白色} =
{1, 2, 绿色}∩{红色, 白色, 绿色} = {绿色}
{1, 2}∩{1, 2} = {1, 2}
差
主条目：差集
A在B中的相对补集，写作B−A，是属于B的、但不属于A的所有元素组成的集合。
在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集U的子集。这样，U−A称作A的绝对补集，或简称补集（余集），写作A′或CUA。
补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。
定义
给定集合A，B，定义运算-如下：A - B = {e|e∈A 且 。A - B称为B对于A的差集，相对补集或相对余集。
在上下文确定了全集U时，对于U的某个子集A，一般称U - A为A（对于U）的补集或余集，通常记为A'或，也有记为CUA的。
基本性质
作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：
A - A = ；
右幺元：∀集合A，A - = A；（是 - 运算的右幺元）。
左零元：∀集合A，- A =；（是 - 运算的左零元）。
示例
{1, 2}−{红色, 白色} = {1, 2}
{1, 2, 绿色}−{红色, 白色, 绿色} = {1, 2}
{1, 2}−{1, 2} =
若U是整数集，则奇数的补集是偶数
对称差
主条目：对称差
定义
给定集合A，B，定义对称差运算△如下：A△B = (A-B)∪(B-A)。
基本性质
作为集合间的二元运算，△运算具有如下基本性质：
交换律：A△B = B△A；
结合律：(A△B)△C = A△(B△C)；
幺元：∀集合A，A△ = A；（是△运算的幺元）。
逆元：A△A =；
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