集对分析

集对是由一定联系的两个集合组成的基本单位。也是集对分析和联系数学中最基本的一个概念，由赵克勤在1989年正式提出。由于数学中规定集合的元素可以是人、事、物、数字、概念，因而如：评价标准与评价对象、设计要求和实物、目标与现状、状态与趋势、现在和将来、已知与末知、确定性与不确定性、线性与非线性、简单与复杂、时间和空间、以及两个学生、一对恋人、教师与学生、领导与群众、工人与农民、商人与医生、官员与市民,以及生存与发展、投资与回报、改革与创新、计划与市场,以及太阳与地球、月亮与星星、火箭与飞船、物质与能源、信息与智能、机器与知识、科学与技术，以及2个数字、2条直线、2个图形、2个方程、2个函数，2首歌曲、2幅图画、2块土地、2座建筑物、2条河流、2台计算机、2种疾病、2个国家、2支军队、2种武器，2件物品，以及正数与负数、实数与虚数、函数与图表、图像与方程、精确解与近似解等等,以及东西、南北、好坏、胜负、进退、盈亏、虚实、等等,都可以在一定条件下看在是集对的例子。 事实上，集对也是一种自然现象，例如我们的2只眼睛、2只耳朵、2个鼻孔、2只手，2条腿，都可以看作是集对的例子。 从数学的角度看，引进集对这个概念是必要的，可以为解决集合论中的悖论提供一种全新的思路。例如在集合论中有一个罗素悖论，也称理发师悖论，是说村上有一个理发师，贴出服务公告，宣称他为所有不为自己理发的人理发，根据集合论，这些人能组成一个集合 ，但由此引出一个问题，理发师自己的头该由谁理发？如果他不为自己理发，那么，理发师属于A ；但这样一来，理发师又不能给自己理发了，也就是不能属于A ，那么，理发师自己的头究竞该由谁理发？ 上面这个理发师悖论由英国数学家和哲学家罗素（Bertrand Russell， 1872-1970）于1903年发现，所以也称罗素悖论。罗素悖论的发现，说明了由德国数学家康托（Georg Cantor, 1845-1918）提出的集合论存在着矛盾，这个矛盾是如此的显而易见，在构造一个普通的集合时就存在于这个集合中，震动了当时的数学界，正如著名的法国数学家庞加莱（Henri Poincare,1854-1912）所坦言，“我们围住了一群羊，然而在羊群中也可能围进了狼”。有了集对这个概念后，我们就用一个确定集A和一个不确定集B同时去描述理发师要服务的全体对象。例如设村上包括理发师在内共有100人，这是我们的研究对象，其中不能为自己理发的有99人，确定属于理发师的服务范围（A=99）；加上理发师1人不能确定是否属于理发师的服务范围（B=1），于是得联系数A+B i=99+1i，这个联系数的集对意义显然是关于“所有不为自己理发的人”这个对象集O的两个映射集合AO（确定集）与BO（不确定集）的基数之“联系和”。根据以上这个例子，也可以称集对是为研究（描述和分析）某个事物所必须的2个集合。反过来也表明：即使是一个简单的对象（事物），也至少要用2个集合去描述。例如，要把某校的全体教师作成一个集合A，看上去是一件没有异义、轻而易举的事情，但有的教师同时又是学生（例如在职读博士），具有双重身份，遇到这种情况时，只给一个教师集A，就比较难办，如果同时给出一个学生集B就比较好办一些，因为虽然把在职攻博的教师放入B中也不尽全妥，但我们可以用A∩B表示有的人既是教师同时又是学生这种情况，但这里的A∩B指的是同一个对象，因而把A和B组成集对更为自然。从这个例子又可以看出：即使是一个简单的对象（事物），用1个集合去描述也是不够的；此外，也可以看出：组成集对的2个集合既可以一个是确定集，一个是不确定集；也可以2个集合都是确定集，或者都是不确定集。 集对一般用大写字母表示，如H，M，等，要表示集对H是由集合A、集合B组成时，记为H=（A，B）表示。

集对分析是在一定的问题背景下，对集对中2个集合的确定性与不确定性以及确定性与不确定性的相互作用所进行的一种系统和数学分析。通常包括对集对中2个集合的特性、关系、结构、状态、趋势、以及相互联系模式所进行的分析；这种分析一般通过建立所论2个集合的联系数进行，有时也可以不借助联系数进行分析。

对集对中的2个集合作特性分析时，需要先抽象出集对中2个集合各自的特性，再比对这2个集合在哪些特性上同一，也就是同时具备哪些特性；这2个集合在哪些特性上对立，也就是在哪些特性上相互对立、矛盾；而在其它的一些特性上既不同一，也不对立（称之为差异，与同一有差异、与对立也有差异）这样的分析；在此基础上统计这2个集合的同一特性数（记为A），相反特性数（记为C），既不相同又不相反（差异）的特性数（记为B），并写成“联系数”的形式：U=A（+）Bi （+）Cj，这里j表示对立，i表示差异（中介、不确定、不确知，数据缺失等），在需要计数时，给j和 i赋值；这时要明确j代表何种对立，例如当所论问题涉及的是“正负型对立（1*（-1）=-1）”，则取j=-1，与此同时i在[-1，1]区间取值；当所论问题涉及的是“虚实型对立（1*（-1）=（-1））”时，则取j=（-1），这时i在[1，（-1）]空间取值；如此等等；由此可见 i是j的函数，j又是问题（W）的函数，因此，i是问题（W）的复合函数，在此基础上开展适当的数学运算和数学分析。从集对论的角度看，这时的“联系数”其实也是所论集对的一种特征函数。

对集对中的2个集合作关系分析时，需要先具体分析所论2个集合的各种关系，这些关系中有的是确定的关系（如等价关系、对应关系等），有的是不确定的关系（如随机关系、模糊关系，一因多果关系、非线性关系等），假定分析得到的关系都是同等重要的，则把所有确定的关系数计入A，所有不确定的关系数计入B，再把A和B写成“联系数”：U=A（+）Bi的形式。这时的“联系数” U=A（+）Bi其实也是所论集对的一种特征函数。

对集对中的2个集合作结构分析时，需要对其中的每个集合所组成的元素作空间结构分析，包括元素的性质、元素的粒度、元素的个数、元素的分布、元素的集聚进行分析，换言之，也就是要先对一个集合的“结构”作出分析，再去比对这2个集合在“结构”上的同异反，写出这2个集合在结构上的同异反联系数，这个同异反联系数其实也是所论集对的一种“结构函数”，当然，这种结构函数也是集对的一种特征函数。如此等等。

有关集对状态、趋势和模式的分析将另作说明。

集对分析不仅适用于只有2个集合存在的场合，也适用于有多个集合存在的场合，这时需要先就每2个集合写出联系数，再对得到的若干个联系数作适当的运算和分析，以解决给定的问题。

集对分析还主张从“集对”的本意出发：提倡同一个问题用2种或多种不同的方法、2个或多个不同的角度，2次或多次反复去研究，再把研究结果集成，得出最后的结论，以此来保证集对分析结论的可靠性和可信性。由此可见，集对分析是研究和处理复杂系统中有关不确定性问题的一种系统数学方法。

在已有的一些文献中，集对分析也被称为联系数学，但从本义上说，2者还是有区别，主要的区别在于集对分析有时可以不借助联系数进行系统数学分析，但联系数学涉及联系数的运算。

集对分析由中国学者赵克勤提出于1989年包头召开的全国系统科学与区域规划学术研讨会，20多年来在自然科学与社会科学的众多领域得到广泛应用，在中国知网上已可检索到有关研究和应用集对分析的论文近2000篇，发表集对分析的高校学报有180多家，专业学术期刊350多家，其中有《中国科学》、《中国工程科学》等刊物，但作为现代数学的一个新分支，集对分析仍处在发展之中。

集对分析的英语为：Set pair Analysis,简记为SPA.

[1] 赵克勤，集对分析及其初步应用[M]，杭州，浙江科技出版社，2000。

[2] 赵克勤，集对分析及其初步应用[J]，大自然探索，1994，13（1）：67-72。

[3] 赵克勤、宣爱理，集对论----一种新的不确定性理论方法应用[J]，系统工程，1996，14（1）：18-23。

[4] 赵克勤，二元联系数 的理论基础与基本算法及在人工智能中的应用[J]，智能系统学报2008，3（6）：476-486。

[5] 赵克勤，联系数学的原理与应用[J]，安阳工学院学报，2009（2）：107-110

[6]王文圣、李跃清、金菊良、丁晶，水文水资源集对分析[M]，北京，科学出版社，2010：1-180

[7]刘保相,粗糙集对分析理论与决策模型[M],北京,科学出版社,2010:1-180

[8]赵克勤,赵森烽,奇妙的联系数[M],北京,科学出版社,2014年:1-206

参考百度的相关词条有“同异反联系数”，“同异反系统”,奇妙的联系数