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集总参数法

集总参数法

当物体内温差相差不大，可近似认为在这种非稳态导热过程中物体内的温度分布与坐标无关，仅随时间变化。因此物体温度可用其任一点的温度表示，而将该物体的质量和热容量等视为集中在这一点，这种方法称为集总参数法。

使用条件
当物体的热导率λs很大，表面积很大，表面传热系数h较小且厚度δ不大时，物体的内部导热热阻与表面传热热阻相比可以忽略。此时物体中的温差不大，温度降落主要在物体表面。
由上述物理量可以组成毕渥数：Bi=hle/λ=内部导热热阻/外部传热热阻
式中le为引用尺寸。对于无限大平壁le=δ/2；对于无线长圆柱体和球le=d/2=R（半径）。
当Bi<<1时，物体符合用集总参数法简化计算的条件。理论上可以证明，当Bi<0.1时，用集总参数法分析非稳态导热问题误差不超过5%。
导热微分方程
当温度恒定时，设有一体积为V、传热表面面积为A、初始温度为t0、常物性无内热源的任意形状的固体，突然置于温度为t1（恒定）的环境中加热或冷却，物体表面与周围环境的表面传热系数为h0。假定此物体的内部导热热阻可以忽略，符合集总参数法简化分析的条件。用导热微分方程和定解条件求解。
由于物体内部的温度与坐标无关，可得下式
Φ'/ρc
表面传入的热流量为：
Φ
内热源强度为：
Φ'=Φ/V=
将上述公式整理，可得物体非稳态导热的导热微分方程：
这就是符合集总参数法简化分析的物体非稳态导热的导热微分方程。
傅里叶数
引入过余温度：
导热微分方程变成齐次方程：
初始条件时：
对导热微分方程分离变量并积分可得：
式中Fo便为傅里叶数。傅里叶数为无量纲常量。脚标“V”表示特征尺寸lc，具有长度的量纲。大平璧的特征尺寸为δ/2；对于无线长圆柱体为R/2；球为3/R。
所以，集总参数法的判别式可变为：
其中M为特征尺寸与引用尺寸的比值。对于无限长大平璧M=1；对于无线长圆柱体和正方形柱体M=1/2；对于球和正方体M=1/3。
时间常数
由于有时间的量纲，所以称为时间常数，记为。所以公式可变为：
由此可见，时间常数表明内部热阻可以忽略的物体突然被加热或冷却时，它以初始温度变化速度从初始温度变化到周围流体温度所需要的时间。
时间常数是一个综合量，既反映物体热容量的大小，又反映表面传热情况。显然，时间常数小，表明物体表面传热好，且本身热容量也小，因为温度变化快。但对于恒定的流体温度，如时间足够长，则时间常数的大小对测温准确性没有影响。
热量
如果要计算从初始时刻到时刻通过物体传热表面传递的热量Q，根据Q的定义代入式，可得：
式中，称为物体的初始过余热焓，单位为J，它表示物体由初始温度变化为环境温度时所吸收或放出的热量。
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