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集族

以集合为元素的特殊的集合

集族是一种特殊的集合，以集合为元素的集合称为集族。例如，集A的幂集P(A)是一个集族，P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。又例如，由空集φ、集合A={1，2，3}作为元素的集合M={φ，A}是一个集族。 注意，由空集φ作为元素的集合是一个集族，它已不是空集，即A={φ}，它不同于{ }。在这里，A= {φ}是具有一个元素的集合，是单元素集。集族常用花体字母A，B，C等表示，取A为标号集，A到集族A的一一对应(双射)为f:a→Aa，则集族A可记为{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。当A为线性序集{…,a,…,b,…,c,…}时，集族{…,Aa,…,Ab,…,Ac,…}称为集列。

定义
集族（family of sets）是由具有某种性质的一些集合所构成的集合，即“集合的集合”。例如，平面上的圆盘是集合，因此平面上一切圆盘所成的集合就是一个集族。又如一个集合的一切子集所构成的集合也是一个集族。
集族是以集合为元素构成的集合。集族常用花体字母表示，这里我们使用 来表示集族。集合之间关系的定义和运算规律同样适用于集族。如 为集族 的可列并， 。
几种常用集族
下面我们介绍几种常用的集族。
半环
定义1 设 为一集族，且满足下列三个条件。
1)
2) 若 ，则
3) 若 且 则
其中每一个 均属于 且 则称 为半环。
显然若 为半环，那么 中任二元素A，B之差 必能表为 中有限个两两不相交的集之并。
例1 记全体实数所成的集为R； 且 ，那么我
们把集
称为R中的左闭右开区间，简称半开闭区间，R中全体半开区间构成一个半环。
例2 设Rn 为n维实数空间(即n维欧几里得空间)，又设
为 中两元素且 那么 Rn满足下列关系
的元素 所组成的集称为Rn 中的半开闭区间。
Rn 中全体半开闭区间构成一个半环。
例3 设X为任意集，用 (X)表示X中全体子集组成的集族，则 (X)为半环，只含 集的集族{ }亦是一个半环。
例4 设X为任意集，X中全体单点集连同 集构成一个半环。
环
定义2 设 为不空集族，且满足下述条件：若 ，则 ，那么我们称 为环．换句话说：如果一个非空集族对于并及差两种运算是封闭的，那么它就是一个环。
例3中的集族也是环。
例5 设X是无穷集，则由X中一切有限子集组成的集族是环。
容易证明，凡环必是半环，反之半环不一定是环．上面例1，例2及例4中的集族均是半环，但它们都不是环。
定理1 设 为不空集族，则下列1) 2) 3)都是使 为环的充要条件：
1) 若 ，则 ， ；
2) 若 ，则 ， ；
3) 若 ，则 ，
若 且 ，则 ，
若 且 ，则 。
推论1 若 为环，则 且 对有限个集之并，交及两集之差，对称差运算封闭。
代数
定义3 含X的环称为代数，由定理1的推论及
可知：代数对于有限个集之并及交，两集之差及对称差，余集等运算是封闭的。
显然例3中的集族 (X)是代数。
倒6 设X是无穷集，X中全体有限子集及余集是有限集的集所组成的集族是一个代数。
显然代数是环，反之环未必是代数，而且若 是环，那么由X和 中的集组成的集族也未必是代数．事实上例5中的集族是环但非代数，而且该集族增添元素X后所得的集族也不是一个代数，因为它对余运算不封闭。
定理2 设 为不空集族，则下列命题等价：
1) 含X的环；
2) 对并及余运算封闭，即若 ，则 ， ；
3) 对交及余运算封闭，即若 ，则 ， 。
σ-代数
定义4假设 是Ω上的非空集族，如果：
(1) ；
(2)它对于补运算封闭，即 ，有 ；
(3)它对于可列并运算封闭，即 有 。
则称 是Ω上的 (西格玛)-代数(algebra)或者域(field)。
例7由 Ω和 两个集合组成的集族是 -代数。因为它们的补和可列并运算结果仍然是Ω和 。
(2)假设A是Ω的非空子集， 是任一包含A的-代数，那么 称为包含A的最小 -代数，有时也称为由A生成的-代数。
(3)设Ω是全体实数R，令是R中一切开区间( )生成的 -代数(一切闭区间也可以)，称为R中的波雷耳(Borel) -代数，记为 (R)， 中的元素(集合)称为R中的波雷耳集。
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