零向量

数学术语

长度为零的向量是零向量，也即模等于零的向量，记作0。

向量

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

定义

长度为零的向量是零向量，也即模等于零的向量，记作0。

性质

注意零向量的方向是无法确定的。但我们规定：零向量的方向与任一向量平行，与任意向量共线，与任意向量垂直。

零向量的方向不确定，但模的大小确定。但是注意向量与向量不能比较大小。例如，若向量a的模大于零，则向量a大于零向量的说法是错误的，因为实数之间可用比较大小，而向量之间不能比较大小。

零向量与任意向量的数量积为0。

运算规律

1.a+o=a

2.a-o=a

3.a·o=o·a=o(a为非向量)

4.a+（-a）=0

思考与探究

（1）零向量的方向不是任意的，而是无法确定的

我们知道既有大小，又有方向的量叫做向量，而零向量概念只规定其大小为0，并没有谈及方向问题，那么零向量的方向到底怎样呢?按照向量的概念，零向量也是有方向的。由于受到有些教辅书的误导，不少的老师和学生都认为“零向量的方向是任意的”，我想这种说法的根据可能就是“零向量与任意向量平行”的规定，但是，李文明认为这种说法是错误的，因为两个非零向量平行是指同向或反向的两个向量，“零向量与任意向量平行”的这种规定，并没有规定零向量方向如何。当规定中的任意向量是非零向量，我们也不能认为零向量的方向与这个非零向量的方向相同或相反;当规定中的任意向量是零向量，我们更是无法确定两个零向量的方向。由此可见，零向量的方向应该是“不确定的”，或者说是无法确定的，也就是说给我们一个零向量，没有人能够指出它的方向。换句话说零向量(起点与终点重合的向量)是退化的向量，它已经退化到只能确定其大小，而无法确定其方向的一类特殊向量。

（2）零向量与任意向量都是平行的

这是平行向量概念中的明确规定，也就是说零向量与任意向量都是共线的;这种规定使得任意两个平面向量的位置关系只有两种:共线或不共线，二者必居其一，也就是说平面向量可以分为两类:一类是共线向量，一类是不共线向量;不共线的两个向量一定是两个非零向量。

例题

例1，判断下列命题的真假

（1）a·b=a·c可以推出a=0或b=c

（2）a·（b·c）-（a·b）·c=0

（1）假

（2）假

例2，与a平行的单位向量的个数有：

答当a不是零向量时，有两个；当a是零向量是有无数个。所以答案是两个或无数个。

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