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零对象

数学术语

零对象(zero object)是一个特殊的对象，它在范畴论中起着特别重要的作用，一个范畴中同时为始对象与终对象的对象称为零对象。一般地，一个范畴的零对象(始对象、终对象)未必存在，但对一些常用范畴，如预加性范畴(因此对加性范畴、阿贝尔范畴)是有零对象的，若一个范畴的零对象存在，则在等价意义下是惟一的，例如，零群0为阿贝尔范畴的惟一零对象。

定义
设是一个范畴。
1) 如果满足：对于任意的恰由一个元素组成，则称A为中的一个初始对象（始对象）；
2) 如果对于任意的恰由一个元素组成，则称A为中的一个末端对象（终对象）；
3) 如果A既是中的初始对象，又是末端对象，则称A为的一个零对象。
如果有零对象，则称为具有零对象的范畴。
设为具有零对象0的一个范畴，X和Y是中任意两对象，则有唯一的态射
和
于是，有复合态射
即
态射称为零态射，记为。
例1 在中是一个初始对象；任一单元素集是一个末端对象；但无零对象。
例2 1)平凡(即一个元素的)BCK-代数是中的一个零对象；
2)平凡-代数是中的一个零对象；
3)平凡BCH-代数是中的一个零对象；
4)平凡(2，0)型代数是中的一个零对象；
5)平凡群是中的一个零对象。
例3 在中，零态射正是通常的零同态映射。
在及中都可得到此类似结果，这正是将称为零态射的一个原因。
相关定理
下面介绍关于零对象和零态射的两个简单结果。
定理1 在一个范畴中，一切初始对象是同构的，一切末端对象是同构的；如果有零对象，则一切零对象是同构的。
定理2设是具有零对象0的一个范畴，则对于中的任何态射和，有
且
证明：1)证(1)中第一式。由图1，其中和分别是和中唯一的态射，且，显然，。从而，
2) (1)中第二式可类似地证明。
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