零测度

某个集合的测度为0

零测度就是某个集合的测度为0。数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。

测度简介

数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。

测度的定义

正式的定义为，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设A是集合X上的一个σ代数, 在上定义，于中取值，并且满足以下性质：

空集合的测度为零：

可数可加性，或称 -可加性：若为中可数个两两不相交集合的序列，则所有的联集的测度，等于每个的测度之和：

这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集合。

性质

单调性

测度的单调性：若和为可测集，而且，则。

可数个可测集的并集的测度

若为可测集（不必是两两不交的），则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

σ-有限测度

如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为 -有限测度空间。如果测度空间中的一个集合可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称具有 -有限测度。

作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是 -有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为。这样的测度空间就不是-有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。-有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，-有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

完备性

一个可测集称为零测集，如果。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑的所有这样的子集，它与某个可测集仅差一个可去集，也就是说与的对称差包含于一个零测集中。由这些子集生成的σ代数，并定义的值就等于。

例子

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

计数测度定义为的“元素个数”。

一维勒贝格测度是定义在的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足的唯一测度。

Circular angle测度是旋转不变的。

局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。

恒零测度定义为，对任意的。

每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。