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非直谓定义法

数学术语

非直谓定义法(the method of impredicative definition)是一种下定义的方法，指被定义的对象被包括在借以定义它的各个对象之中的定义方法，亦即“借助于一个总体来定义一个概念，而这个概念本身又属于这一总体”。例如：自然数全体N中最小的那个自然数0；一切序数组成的良序集W的序数β；一切良序集所组成的良序集θ；一切集合所组成的集合E等。庞加莱((J.-)H.Poincaré)曾在1905年、1906年和1908年多次指出，所有的悖论都与非直谓定义有关。

举例
例1 自然数全体N中最小的那个自然数1。
例2 李家庄村上年纪最大的人H。
这里被定义的对象是H这个人，但当我们对H下定义时，一方面借助了“年纪最大”的概念，特别是借助了“李家庄村上所有的人所组成的总体G”这一概念，但要定义总体G的话，又要借助李家庄村上每一个人，其中包括H这个人在内，这就是借助于总体G来定义H，而H本身又属于总体G。如图1所示。
例3 一切序数所组成的良序集W的序数 。
如图2所示。
例4 一切正序集所组成的良序集 。
每一良序集对应于一个序数，故把一切良序集汇成总体后，再按每一良序集所对应的序数的大小为次序把这个总体排成良序集 ，如图3所示。
例5 一切集合所组成的集合。
如图4所示。
分类
以上五例都是非直谓定义法，但它们构成非直谓定义的具体过程却有所不同，按其不同的情况可作如下的分类：
广义
凡是非直谓定义中的被定义对象，可用直谓定义法重新定义者，亦即被定义的对象并非只能借助于包括它的总体来加以定义者叫做广义非直谓
狭义
凡是非直谓定义中的被定义对象非借助于总体不可，亦即被定义的对象只能借助于这一总体才能定义，如例3中的序数 。由于序数 就是良序集W的序数 ，如果丢开总体W，如何来讲W的序数呢?亦即因为 是W的 ，不是别的 ，那么狭义非直谓之下的H了。
等价式
凡是非直谓定义中的被定义对象仅借助于“总体本身就是什么”这样的等价式刻画来确定的，则称为等价式的非直谓。如例4中的被定义对象就是通过“ B”来表示A是B的特殊情形，那么三种非直谓定义法的关系是：
等价式非直谓 狭义非直谓 广义非直谓
综上所述，可将三种非直谓图示如图5（a）-图5（c）：
以上关于非直谓定义法的分析讨论，亦即关于它们的分类和各类非直谓之间的关系，对于我们了解悖论的成因和寻找排除悖论的出路有密切的关系。
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