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非线性薛定谔方程

含有孤立子波解的非线性方程

非线性薛定谔方程是一个含有孤立子波解的非线性方程。它与诸如非线性光学、等离子体的离子声波等理论物理中的许多非线性问题密切相关，它的解可应用与线性薛定谔方程的特征值问题相关的逆散射问题方法求得。

定义
当势场依赖于波函数时，就导出了非线性薛定谔方程，其一般形式为
其中，是复值函数。为是非线性作用项，典型的情形为：
当时称为聚焦型（focusing）；
当时称为非聚焦型（defocusing ）。
除了量子力学之外，非线性薛定谔方程还可以用来描述物理中的各种非线性波，如激光束在折射率与波幅有关的介质中的传播、理想流体在自由上的水波、等离子波等。
薛定谔方程
[Schrodinger equation]
薛定谔方程是量子力学中的基本方程，它与相应的附加条件一起，决定表征量子系统状态的波函数。对于非相对论性且无自旋粒子的系统，首先由薛定谔在1926年导出，其形式为
其中，是哈密顿算子。算子按以下通则构造：在经典哈密顿函数H(p，r)中将粒子动量 p 及其坐标 r 用相应算子代替，在坐标表象和动量表象中，它们分别具有如下形式：
对于由矢势A（t，r）表征的电磁场中（电量为 e ）的带电粒子，动量 p 要有代替（国际单位制）。在这些表象中，薛定谔方程是一个偏微分方程，如对势场U(r)中的粒子，相应的波函数满足
将薛定谔方程推广到具有自旋的非相对论粒子的情况（二分量函数）称为泡利方程（Pauli equation）；推广到具有自旋的相对论粒子的情况（四分量函数）称为狄拉克方程（Dirac equation）；推广到无自旋的相对论粒子的情况称为克莱因方程（Klein-Gordon equation）；推广到自旋为 1 的相对论粒子的情况（函数是一向量）称为普罗卡方程（Proca equation）。
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