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韦德伯恩定理

数学术语

韦德伯恩定理（Wedderburn Theorem）是Wedderburn提出的一个数学定理。

除环（division ring），又译反称域（skew field）、体，是如下定义的一个环：
至少有一个非零元素，这些非零元素称为单位(Unit)
非零元素都存在逆元素（左逆元素与右逆元素）
它和域（field）的分别在于除环不必要符合交换律。所有域都是除环。不符合交换律的除环（斜体），例子有四元数。
Wedderburn定理：有限体必为域。
证明：
设K为有限体，。
则Z是有限域。令|z|=素数q，则K是q元域Z上的有限维向量空间。设维数是n，则.
对每个元素，令N(a)={x∈K | ax=xa}，这显然是K的子体并且包含Z. 因此N(a)也是Z上的有限维向量空间，从而，n(a)是与a有关的正整数。由于K*=K-{0}为阶乘法群，而N(a)*=N(a)-{0}是K*的阶子群，因此 |. 从而n(a) | n.
将乘法群K*的元素分成共轭类。与a∈K*共轭的元素个数为[K*:N(a)*]=，从而有等式(*)
等式(*)的右边的q-1对应Z*中q-1个元素，这q-1个元素自成共轭类。其余元素a的共轭类中元素均多于1个。即对应N(a)≠n. 下面证明n>1时(*)不成立。使用分圆多项式
由于
从而由Mobius变换（取离散对数化为求和）知，其中是Mobius数论函数。于是，其中f,g均为Z[x]中首1多项式。由于∈C[x]，故在C[x]中g(x)|f(x)，可知在Z[x]中g(x)|f(x).是Z[x]中的首1多项式。
对于n的每个正因子d，如果d|n, d
整除(q-1)。
但是由定义，. 当n≥2时，. 于是
>≥q-1，与整除(p-1)矛盾。故必有n=1.
于是|K|=|Z|，即K=Z，K为域。
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