马丁公理

数学术语

马丁公理(Martin axiom)简称MA，是集合论的一条假设，它有多种等价的形式。马丁公理是1970年由马丁等人提出来的，它与ZFC的其他公理完全不同，不象一个“真”的公理，但是由它可以推出数学上重要的结果。马丁公理是连续统假设的推论，因此可以看成是弱连续统假设。马丁公理在数学上有一系列的重要应用。特别重要的是，舍拉在1974年证明怀特海猜想在ZFC下是不可判定的。同样，许多拓扑学问题也有类似情况。

基本介绍

马丁公理(Martin axiom)简称MA，是独立于ZFC公理系统的著名假设之一，是近代数学基础理论的重要论题。设κ为任意基数，令MA(κ)表示下列命题：对任何满足可数链条件的偏序集〈P，≤〉及由P的稠密子集组成的基数不大于κ的集簇G，存在P中的滤子G，使得对任何D∈G，G交D不空，即G∩D≠∅，MA(2ω)为假，对任何κ′<κ，MA(κ)→MA(κ′)，MA(ω)成立，因此MA(κ)→κ<2ω。马丁公理为：ᗄκ<2ω，MA(κ)，记为MA。

相关介绍及结论

马丁公理由美国学者马丁(D.A.Martin)与罗伯托姆(F.Rowbottom)于1970年左右提出，以色列学者索洛韦(R.M.Solovay)与特纳鲍姆(S.Tennenbaum)于1971年利用迭代力迫法证明若ZF系统相容，则ZFC+MA+2ω>ω1也相容，从而得出MA+ᒣCH与ZFC系统相容，另一方面，若ZF系统相容，则ZFC+ᒣMA也相容，因此MA相容且独立于ZFC系统，由于CH→MA，因此MA也独立于CH，美国数学家科恩(P.J.Cohen)已经证明连续统假设在ZFC公理系统中不可证，法国数学家、工程师莱维(A.Lévy)与索洛韦证明即使假设可测基数存在，也不能得出CH为真，因此，许多集合论学家觉得连续统假设在“现实世界”中“不大可能”为真。然而，连续统假设有许多推论很符合人们的直观，它还可以使许多概念或运算得以简化，设计马丁公理的初衷在于减弱连续统假设的结论，使得某些由连续统假设得出的结论在减弱的假设下仍然成立。马丁与索洛韦于1970年证明下列连续统假设下成立的重要结论在马丁公理下仍然成立：对任何基数κ<2ω，由马丁公理可以得出：

1.2κ=2ω；

2.每个基数为κ的几乎分离簇A⊂P(ω)不可能为最大几乎分离簇；

3.κ个实直线R上的勒贝格测度为0的子集的并的勒贝格测度仍为0；

4.实直线R上的κ个第一范畴子集的并仍为R上的第一范畴子集。

由上列结论可以看出，马丁公理并不是简单地否定在ω与2ω之间不存在基数，而是断言，若在此间存在基数，这些基数具有类似于ω的一些性质。事实上，有许多能由CH解决的传统数学问题也可以用MA解决，由于MA独立于CH，因此同样也有一些CH下为真的命题在MA+ᒣCH下为假。

马丁公理除了偏序形式的定义之外，还有一些其他的等价表述形式，这些表述形式体现出马丁公理可以用于多种不同的数学领域中，如马丁公理的拓扑形式可简单地表述为：若X为任何具有可数链条件的豪斯多夫空间，则X不能表示为小于2ω个X的无处稠密子集的并，马丁公理的布尔代数形式可表述为：若B为一个具有可数链条件的完备布尔代数，T为基数小于的B的一个稠子集簇，则在Bω上存在T超滤子。

马丁公理与ZF系统的公理不同，它不具备直觉上的自明性，因此，它实质上不是公理而是一种集合论假设，然而，马丁公理在现代数学基础理论中占有相当重要的地位，它有大量的推论，其中有一些已经成为打开许多数学难题的钥匙，马丁公理还可以作为证明或发现某些相容或独立于ZFC系统的命题的一种工具，由于MA与ZF(C)系统相容，假如利用MA证明某命题Φ为真，则Φ与ZF(C)系统相容，从而ᒣΦ在ZF(C)系统中不可证，有时能通过检查MA→Φ的证明过程消去MA的使用，从而得出Φ为ZF(C)系统的定理，或者发现Φ在ZF(C)系统中也不可证，从而得出Φ独立于ZF(C)系统，例如，著名的苏斯林假设的相容性问题就是借助马丁公理才得以解决的。索洛韦等人1971年证明MA+ᒣCH→SH，由于MA+ᒣCH相容，因此SH相容;美国学者杰希(T.J.Jech)等人也已证明ᒣSH相容，故SH独立于ZFC系统.对马丁公理的研究主要集中于下列两个方面：一方面减弱或加强马丁公理的条件或结论，以寻求马丁公理更广泛的应用，如对偏序加适当限制等；另一方面对有关马丁公理的更大量的研究是马丁公理的应用研究，目前马丁公理已被应用到无穷组合论、模型论、拓扑学、测度论、函数论及代数学等众多数学领域，对马丁公理的研究已经成为许多学科中的独立研究分支。

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