高分辨率格式

差分格式

高分辨率格式是求解具有间断解的微分方程中构造的一种无振荡或基本无振荡的，且对激波解具有高分辨率的差分格式。

背景

近年来，由于有效的数值模拟方法的不断完善以及计算机计算能力的高速发展，许多在过去无法深入探讨的复杂流动问题重新进入人们研究的视野。这其中，多介质流体的数值模拟已经引起了越来越多的人的关注。在实际计算中，不同的多介质流体的数值模拟存在着不同的困难。比如描述定常亚声速流动的方程组是椭圆型的，而在另外的一些流动(如超声速反应流动、高超声速流动或者爆炸)中，方程组的双曲型性质则起着决定性的作用。

自1983年Harten提出TVD格式以来，高分辨率格式得到了蓬勃发展并且在实际计算中显示了良好的效果，但这些工作主要是解决了Euler坐标系下的单介质问题。考虑到高分辨率格式是建立在双曲守恒律组基础上的，而非定常多介质流体力学方程组也是双曲型的，高分辨率格式可用于多介质流体力学计算。

微分方程

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算，那么，也和熟知的逆运算一样，它是带试探性而没有一定的规则的，甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解），何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。第二，当人们要明确通解的意义的时候（在19世纪初叶分析奠基时期显然会考虑到此问题）就会碰到严重的含糊不清之处，达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难。这主要发生在偏微分方程的研究中。第三，微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。

定义

高分辨率格式是求解具有间断解的微分方程中构造的一种无振荡或基本无振荡的，且对激波解具有高分辨率的差分格式。

发展概况

在二十世纪八十年代以前，人们已经对格式的性质进行了较深入的研究，尝试了为消除数值振荡、改善激波分辨率的各种措施，这些工作为八十年代高精度高分辨率格式的研究和发展打下了基础。

1983年Harten提出了TVD格式的概念，要求差分解满足总变差不增的性质，在给出了判断格式是否是TVD格式的一个充分性条件之后，他把一阶精度的TVD格式应用于修改了通量的单个守恒律方程，在选择了适当的修正量之后，使得所得到的新的差分格式对原守恒律方程是二阶近似的。之后Harten把它推广到了双曲守恒律组的情况。尽管在守恒律组的情况下并不能严格证明它们的TVD性质，而只能证明在退化到线性方程时具有TVD性质，但在实际计算之中，Harten的二阶TVD格式在计算激波间断时具有较高的分辨率，通常激波过渡区的宽度只占一到二个网格;能够消除激波后的非物理的数值振荡;在解的单调变化的光滑区中，差分解能够达到二阶精度，只是在解的极值附近，由于差分解只具有一阶精度，表现在数值解上，会出现峰值抹平的现象。在Harten工作的基础上，八十年代出现了一系列的TVD格式，比较有代表性的有:1984年Sweby在七十年代Boris、Book和Van Leer工作的基础上，采用通量限制技术构造的二阶TVD格式；1987年Yee在Davis和Roe工作的基础上进行了系统的研究和数值实践，利用中心差分构造了具有对称形式的Yee-Roe-Davis对称型二阶TVD格式。在TVD格式的基础上，Chi-Wang Shu放松了对差分解总变差不增的要求，构造了总变差有界的TVB格式，理论上可以得到更高阶(到15阶)精度的格式。此外，1988年张涵信提出的NND格式实际上在单个守恒律情况下也是具有TVD性质，他在不同的时间离散建立了五种不同的显式NND格式，可以证明其中的两种分别等价于Harten的TVD格式和Osher-Chakravarthy的TVD格式，此后他又在1993年提出了NND格式的三阶修正格式一一ENN格式。

在高精度高分辨率格式的研究中，除了对TVD格式的研究之外，高阶精度Godunov格式的发展也得到了广泛的关注。Godunov格式是八十年代之前比较有代表性的激波捕捉法之一，但它有着比较明显的缺点:求解局部的Riemann问题需要耗费较多的额外计算工作量;并且虽然差分解不出现非物理的数值振荡，但间断面的分辨率不高，通常要占用五个计算网格。七十年代末以来，发展了许多高阶Godonov格式的研究，提高格式计算精度以改善对间断的分辨率。1979年Van Leer建立的二阶Godunov格式(MUSCL)，标志着高阶Godunov格式研究的开始。随后，1984年Collela和Woodward建立了三阶Godunov格式(PPM )。1987年Harten, Engquist, Osher, Chakravarthy建立的基本无震荡格式(ENO)事实上也是一种高阶精度的Godunov格式。在他们的工作之后，九十年代又出现了UENO、WENO等格式。

高分辨率格式建立在双曲守恒律组的基础上，在实际计算中，特别是空气动力学Euler坐标系下的单介质问题取得了很好的效果:在数值解激波具有很高的分辨率，激波间断的过渡区可以达到只有一、二个网格步长的宽度;激波的波前波后也不出现非物理的数值震荡;在光滑区数值解也有较高的精度。

基于非结构化网格的高分辨率格式

对流项的中心差分离散或Galerkin有限元离散虽然具有较高的离散精度，但由于其未充分考虑到对流的上风影响效应，因此导出的离散方程具有某种程度的病态性质，即系数矩阵的严重非对称性及非对角占优，因而往往导致震荡的数值解。简单的一阶迎风虽然可有效地消除数值振荡，但往往引入了过大的人工粘性。近年来发展起来的高分辨率格式，如TVD, ENO是解决上述问题的有效方法。在高分辨率格式中，通过引入与解的性质有关的限制因子Limner，使计算格式既具有较高的离散精度同时又避免解的高频振荡。

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