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高斯定理

定理定律

高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式。在物理学中，高斯定理是电磁学的基本定理，是麦克斯韦方程组中的两个方程。高斯定理将电荷或磁荷（至今没有发现）与电场或磁场联系起来。

研究历史
1839年，‌高斯发表了重要论文《‌关于与距离的平方成反比的吸引力或排斥力的普遍定理》‌，‌在这篇论文中，‌他严格证明了Poisson方程，‌并给出了静电学中的高斯定理。
物理学定理
电场的高斯定律说：从任意封闭曲面内流出的电场的通量与封闭曲面包围的电荷成正比，与电荷的分布无关。至今没有在实验中发现磁单极子，认为磁场是无源场，因此磁场的高斯定律说：从任意封闭曲面内流出的磁场的通量为零。在对称性较差的体系中，高斯定律通常以微分形式使用。
电场
真空中
真空中电场的高斯定律可以表示为
其中是通过封闭曲面的电通量，是封闭曲面包围的总电荷。一般地，电通量的定义是
在弯曲时空中，电通量的表达式是
其中是度规张量的行列式，是电磁场张量，表示的是面积，是Levi-Civita符号。上述方程是电场的高斯定律的积分形式
应用散度定理，可以将电场的高斯定律写成微分形式
介质中
在电介质中有两种电荷：自由电荷和束缚电荷。顾名思义，自由电荷是可以自由移动的电荷。束缚电荷来自于电极化。电介质处于电场中时，其中的正电荷会受到沿着电场方向的力，负电荷受到的力相反。那么正负电荷之间会错开一个小的位移。在电介质内部的极化产生的电荷相互抵消，只有介质表面会有正负电荷的积累，这被称为“束缚电荷”。
极化矢量是电偶极矩的体密度，即
对于大多数电介质，可以近似地认为极化矢量与电场成正比，比例系数是极化率
其中是极化率。因此在电介质中，第一个麦克斯韦方程可以写成
其中表示自由电荷，是束缚电荷密度。推导中用到了公式，定义了一个物理量：电位移矢量
因此在电介质中的高斯定理有下面两种等价形式
库伦定律
点电荷产生的电场应当是球对称的，根据球对称性，对于真空中的点电荷，高斯定理可以写成
这就是高斯定理。相反地，通过库仑定律和电场叠加原理也可以推导出高斯定理。一般地，电场可以写成
应用，可以得到
磁场
至今没有在实验中发现磁单极子，因此，可以认为磁场是一个无源场。磁场的高斯定理可以表述为：穿过任意闭合曲面的磁通量为零，也就是说
推论
球对称电容器的电场
先考虑一个均匀带电荷的球壳，半径为。我们选取与球壳球心重合的闭合球面，半径为。由于对称性，球面上的电场强度应该相等，方向应该都经过球心垂直于球面。如果，那么闭合曲面内不包含任何电荷，电场为0。因此在球壳内部电场处处为零。如果，那么根据高斯定理
我们得到在球壳外侧的电场是
如果电容器是实心的，电荷在球内均匀分布。那么在时，电场由给出；在时，高斯定理是
其中电荷密度，因此电场为
圆柱形电容器的电场
设电荷线密度为的的圆柱形电容器圆周半径为，长度为，且，我们可以近似圆柱形电容器无限长。根据对称性，我们可以选取圆柱形积分曲面，对称轴与电容器重合，电场应当过对称轴垂直于积分曲面。在积分曲面圆周半径时，根据高斯定理
可以得到电场
其中是过圆柱旋转对称轴垂直于圆柱面的单位矢量。
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