鹰鸽博弈

博弈论模型

鹰鸽博弈是英国生物学家约翰·梅纳德·史密斯提出的一个博弈论模型，用来解释自然界中的鹰与鸽子两个物种的进化与共存现象。该模型的两个纯策略均衡类似于懦夫博弈，而混合策略均衡则导出了进化稳定策略的概念。此外还有不完全信息条件下的贝叶斯博弈版本。

介绍

雄鹰凶猛好斗，从来不知道妥协。而鸽子温顺善良，避免冲突，爱好和平。哪个习性更适合生存呢？英国生物学家约翰·梅纳德·史密斯根据这两个动物的习性提出了著名的鹰鸽博弈。当两只鹰同时发现食物的时候，天性决定它们一定要战斗，最后会两败俱伤。所以二者的收益都是 -2。当两只鸽子相遇的时候，天性要求它们共同分享食物，所以各自收益都是 1。当鹰和鸽子相遇，鸽子会逃走，鹰独得全部食物，故鹰的收益是 2，鸽子的收益是 0。

故我们可以得出下面这样的收益矩阵：

纯策略均衡

鹰鸽博弈的两个纯策略均衡是一只鸟成为鹰，另一只成为鸽子。这时候鹰不会愿意变成鸽子而让出一半的食物，鸽子也不会愿意变成鹰而两败俱伤。所以鹰鸽博弈的纯策略均衡十分类似于懦夫博弈。但它不同于囚徒困境博弈，因为一鹰一鸽的结局好于二鹰相斗。但哪一只鸟成为鹰，哪一只成为鸽子则不一定。两只鸽子也不是一个均衡，因为它们之中总会有一只首先变成鹰，获得更多的食物。

混合策略均衡

鹰鸽博弈有一个混合策略均衡点，对于上面的收益矩阵，就是两只鸟都以 1/3 的概率成为鹰，2/3 的概率成为鸽子。此时双方都没有单方面改变鹰鸽概率的动机，因而是一个混合策略的纳什均衡。从生物进化的角度来说，混合策略均衡相当于鸟群中有 1/3 的鸟是鹰，2/3 的鸟是鸽子。下面推导这一均衡。设鹰、鸽子的比例分别为 p 和 1 – p，则鸟群中一只鹰的收益为

πh = -2 p + 2 (1 – p) = 2 – 4 p，

而一只鸽子的收益为 πd = 1 – p。当 p < 1/3 时有 πh > πd，种群中鹰占优；当 p > 1/3 时有 πh < πd，种群中鸽占优。称 p = 1/3 为鹰鸽博弈的进化稳定策略 (evolutionarily stable strategy)。此时 πh = πd = 2/3，鹰和鸽子的收益是 “平等” 的。

贝叶斯博弈

鹰鸽博弈还有不完全信息的版本。假设两只鸟看见食物以后，都有争夺和逃走两个选择。但它们做出选择之前并不知道对方是鹰还是鸽子。这时候的情形就是一个贝叶斯博弈。可以用海萨尼转换的方法计算鹰和鸽子面临另一只不知类别的鸟时，选择争夺食物和逃走策略的概率，以及种群中的鹰和鸽子的平衡数目比。例如，设三种遭遇下双方的收益矩阵如下：

这里假设鹰的体力消耗比较大，因此选择逃走饿肚子的时候有 1 个单位的体力损耗。以上收益矩阵可得出，鸽子相遇会平分食物，鸽子遇到鹰会逃走，鹰遇到鹰也不是必有一战，只是逃走一方代价较大。设鹰的争夺概率为 a，鸽子的争夺概率为 b，种群中的鹰和鸽子的数目比为 p : 1-p。用海萨尼转换可求解出平衡时 p = 0.5，鹰的夺食概率 a = 3/4，鸽子的夺食概率 b = 1/2。鹰比鸽子进攻性更强的主要原因是：1）鹰遇到鸽子必胜，能独享全部食物；2）鹰的体力消耗更大，不愿意放弃食物。

拓展

一般形式

鹰鸽博弈最先被生物学家作为不同物种竞争某种有限自然资源的模型而提出。假设资源总数为V，那么鹰可以从鸽子手中抢走全部资源V；而鸽子之间会平分资源，每人获得；而鹰遇到鹰会对资源进行激烈的竞争，虽然结果是平分资源，每人但需要付出更大的代价。由此可知收益矩阵为：

其中。值得注意的是，如果改变参数的大小关系为，那么博弈结构就会变成囚徒困境博弈，而不是鹰鸽博弈。

生物学实例

鹰鸽博弈作为一个博弈论模型应用广泛，其原本的生物学意义也在2014年的一项关于澳大利亚七彩文鸟（Erythrura Gouldiae）的研究中得到验证。七彩文鸟依据头部颜色可分为红色与黑色两个变种，红色变种更具侵略性，并能在巢穴竞争中战胜黑色变种，故可以入侵黑色种群并占据支配地位。这里红色变种就相当于“鹰”，黑色变种就相当于“鸽”。当红色变种逐渐增多达到一定比例时，由于红色变种与红色变种的竞争导致适合度下降，其数量不再增加，最终与黑色变种共存。这与鹰鸽博弈中混合策略均衡的存在是相符合的。

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