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黎曼问题

描写气体运动的基本方程

黎曼问题由黎曼（G.F.B.Riemann）所提出。一般的黎曼问题则是美国著名数学家拉克斯（D.D.Lax）首先开始研究的，在方程为严格双曲以及方程的所有特征或为真正非线性，或为线性退化的假设下，拉克斯构造了黎曼问题的解，它由 m 个波组成，或为激波或为中心疏散波，或为接触间断。

简介
双曲守恒律方程组
其中，的一类初值问题，其初值为,，其中，为不同的 m 维常向量。
黎曼问题在守恒律方程组的理论研究中起着非常基本的作用。计算双曲守恒律方程组中弱解的许多数值格式，如格利姆格式，都以黎曼问题的解为基础，此外，双曲守恒律方程组的整体弱解当时间趋于无穷时，往往趋于一个黎曼问题的解。
相关背景
描写气体运动的基本方程是欧拉方程，它由质量、动量和能量三个守恒律组成，它的最大特点和困难在于解中会出现间断现象，冲击波就是一种压缩性的间断。1858年，黎曼紧紧抓住了间断现象这一特点，提出并解决了欧拉方程一种最简单的间断初值问题即初值为含有一个任意间断的阶梯函数，被后人称为黎曼问题。
黎曼构造出了它的四类解，它们分别由前、后向疏散波和前、后向冲击波组装而成。并利用相平面分析方法给出了此四类解的判别条件。
应用
黎曼问题最初在空气动力学领域提出，现在是处理带有间断流动（如激波）常常要遇到的问题，是计算流体力学领域的基础性问题之一。
黎曼的这一工作开创了“微分方程广义解”概念及“相平面分析”方法之先河，具有极大的超前性。黎曼以其敏锐的洞察力和巨大的创造力为非线性双曲型守恒律的数学理论奠定了第一块基石。
在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier-Stokes方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。所以学者们重点研究的是无粘的欧拉方程的解法。在推广到Navier-Stokes方程时，只需在欧拉方程的基础上加上粘性项的离散即可。欧拉方程是一种典型的非线性守恒系统。
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