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默比乌斯函数

数学术语

默比乌斯函数，也称为莫比乌斯函数、缪比乌斯函数，数论函数，由德国数学家和天文学家默比乌斯(August Ferdinand Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)作为莫比乌斯函数的记号，故也被称为梅滕斯函数。默比乌斯函数在数论中有着广泛应用。

定义
默比乌斯函数或缪比乌斯函数是指以下的函数：
μ(n)的首25个值（OEIS中的数列A008683）：1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0, ...
μ(n) ——默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目。
莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：
1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N；
2）μ(1)=1；
3）当n存在平方因子时，μ(n)=0；
4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1；
5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1。
性质
性质1
莫比乌斯函数是一个数论函数，它是一个积性函数。
证明：
①当 n=1时显然；
②当n 0时，将n分解可以得到 ；
在n的所有因子中， 值不为零的只有所有质因子次数都为1的因子，其中质因数个数为r个的因子有 个
那么显然有：
性质2
对任意正整数n有：
证明：
只需要令 ，代入莫比乌斯反演的公式即可
与其他函数的关系
1.梅滕斯函数
莫比乌斯函数的求和函数，被称为梅滕斯函数，
2.生成函数
莫比乌斯函数有多个生成函数，其中一个与黎曼的ζ(s)有关：
3.无穷级函数
以下是关于莫比乌斯函数的一些无穷级数：
1）
2）
3）
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