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齐次方程

所有非零项的指数相等

齐次方程（homogeneous function）是数学的一个方程，是指简化后的方程中所有非零项的指数相等，也叫所含各项关于未知数的次数。其方程左端是含未知数的项，右端等于零。通常齐次方程是求解问题的过渡形式，化为齐次方程后便于求解。

定义
一
1、所含各项关于未知数具有相同次数的方程,例如等。它们的左端,都是未知数的齐次函数或齐次多项式。2、右端为零的方程(组)亦称为齐次方程(组)，例如线性齐次(代数)方程组、齐次微分方程等。
二
1、线性方程乘积的导数。 或 等等为线性方程当 时称为齐次方程。
2、如果一个一阶微分方程 中的函数 可写成 的函数，即 ，则这个方程是齐次方程。
释义
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。
微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：
1、形如 的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如 都算是二次项，而 算0次项，方程 中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。
2、形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y'，y''，……的次数都是相等的（都是一次），方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），“线性”则表示导数之间是线性运算（简单地说就是各阶导数之间的只能加减），比如方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的,因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'',……的0次项，因而就要称为“非齐次线性方程”，方程yy'=1也不是，因为它首先不是线性的。
另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如 称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。
形式
如果一阶微分方程
中的函数 可写成 的函数，即 ，则称这方程为齐次方程。例如
是齐次方程，因为其可化为
特点解法
（1）特点：方程中每一项的次方相同，且都可以化为一般形式 。
（2）解法：令 ，即 ，则 ，于是原方程可化为 ，即 ，成为可分离变量的微分方程，求解后再用 代替 即得原方程的通解。
微分方程
形如方程
其中 为常数，且 .当 时，令 ，由
解出h与k，可将原方程化为齐次方程
当 时，即 ,可设 ，代入原方程后可化为可分离变量的微分方程，既有
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