BCH码是一类重要的纠错码，它把信源待发的信息序列按固定的κ位一组划分成消息组，再将每一消息组独立变换成长为n(n>κ)的二进制数字组，称为码字。如果消息组的数目为M(显然M>=2),由此所获得的M个码字的全体便称为码长为n、信息数目为M的分组码，记为n，M。把消息组变换成码字的过程称为编码，其逆过程称为译码。
线性与否
分组码就其构成方式可分为
线性分组码与非线性分组码。
线性分组码是指[n,M]分组码中的M个码字之间具有一定的线性约束关系,即这些码字总体构成了n维线性空间的一个κ维子空间。称此κ维子空间为(n，κ)线性分组码，n为码长，κ为信息位。此处M=2。
非线性分组码[n，M]是指M个码字之间不存在线性约束关系的分组码。d为M个码字之间的最小距离。非线性
分组码常记为[n，M，d]。非线性分组码的优点是：对于给定的最小距离d,可以获得最大可能的码字数目。非线性分组码的编码和译码因码类不同而异。虽然预料非线性分组码会比线性分组码具有更好的特性，但在理论上和实用上尚缺乏深入研究（见
非线性码）。
编码译码
用Vn表示GF(2)域的n维线性空间，Vκ是Vn的κ维子空间，表示一个(n，κ)线性
分组码。Ei=（vi1，vi2…,vin）是代表Vκ的一组基底(i=1，2，…，κ)。以这组基底构成的矩阵
称为该(n,κ)线性码的
生成矩阵。对于给定的消息组m=(m1，m2，…，mκ)，按生成矩阵G，m被编为mG=m1E1+m2E2+…+mκEκ
之秩为n-κ并且满足GH=0，仅当=(v1,v2,…，vn)∈n满足H=0时，才为κ中的码字。称H为(n，κ)线性
分组码κ的均等校验矩阵,称H为矢量的伴随式。假设v是发送的码矢量，在接收端获得一个失真的矢量r=v+E,式中E=(e1，e2，…，en)称为错误型。由此rH=(v+e)H=eH
汉明码
这是最早提出的一类线性
分组码，已广泛应用于计算机和通信设备。它是由R.W.汉明于1950年提出的。若码的均等校验矩阵H由2-1个、按任一次序排列且彼此相异的
二进制r维列矢量构成。这样得到的
线性分组码称为
汉明码，其分组长为n=2-1，信息位为κ=n-r=2-1-r，即为(2-1，2-1-r)码。例如，以矩阵
为均等校验矩阵的线性分组码便为(7，4)汉明码。汉明码的
译码十分简单。例如, 假定=(1001100)为发送的码字,其第3位有错，即接收矢量为r=(1011100)。于是
恰为矩阵H的第 3 列，因而判定原来发送的码字为=(1001100)。这种译码方式是一般性的。如果接收矢量r在第i位有错,则其伴随式Hr刚好为矩阵H的第i列。
汉明码是可以纠正单个错误的线性
分组码。
循环码
具有某种
循环特性的线性
分组码，如果(n，κ)线性分组码Vκ具有如下的性质:对于每一个=(ɑ0,ɑ1，…，)∈Vn，只要∈Vκ,其
循环移位()亦属于Vκ,则称Vκ为
循环码。循环码的优点在于其编码和
译码手续比一般
线性码简单，因而易于在设备上实现。使Vn中的每一个矢量=(ɑ0，ɑ1，…，),对应于域GF(2)上的多项式ɑ(x)=ɑ0+ɑ1x+…+x。于是Vn中的全体n维矢量便与上述多项式之间建立了一一对应的关系。基于这种对应,使Vn中除了
线性运算而外，还建立了矢量之间的乘法运算。A=(ɑ0,ɑ1,…,)与B=(b0,b1,…,)的乘积ab可视为ɑ(x)b(x)[mod(x-1)]所对应的矢量。因此,一个(n,κ)
循环码的
生成矩阵及均等校验矩阵可分别由生成多项式及均等校验多项式h(x)所代替，从而简化了编码及
译码运算。
BCH码
它是一类重要的
循环码，能纠正多个错误。假设m是满足模n(modn)的最小正整数,β是域GF(2)的n次单位
原根,作循环码的生成多项式g(x),以d0-1个接续的元素为根，其中m0,d0均为正整数，且d0≥2。于是
其中mj(x)代表的
最小多项式。由这个g(x)所生成的，分组长为n的循环码称为BCH码。它由R.C.Bose，D.K.Ray-Chaudhuri及A.Hocquenghem三人研究而得名。BCH码的主要数量指标是：码长n，首元指数m0，设计距离d0，信息位数（表示多项式g(x)的次数）。BCH码的重要特性在于：设计距离为d0的BCH码，其最小距离至少为d0，从而可至少纠正(d0-1)/2个独立错误。BCH码译码的第一步是计算伴随式。假设 为发送码矢量,为接收矢量,而E=(E0,E1,…,En-1)为错误矢量,或记为错误多项式。于是伴随矢量之诸S=(S1，S2，…,S2t)分量Sκ由
决定（κ=1,2,…2t；为简便计,设m0=1,d0=2t+1）。假设有e个错误出现(1≤e≤t),则对应于e个错误的Ei厵0。如果E的第j个（从左至右）非零分量是Ei,则称Xj=β为这个错误Ei的错位，而称Yj=Ei为这个错误的错值。称 为错位多项式。BCH码译码的关键是由诸sκ(κ=1,2，…，2t)求出(z)。这可用著名的伯利
坎普－
梅西迭代算法来完成。这种算法相当于线性
移位寄存器（LFDR寄存器）的综合问题。最后一步是求出(z)的全部根，可用钱天闻搜索算法完成,从而可以定出接收矢量r的全部错位。
BCH码基本原理
BCH码是一种有限域中的
线性分组码，具有纠正多个随机错误的能力，通常用于通信和存储领域中的纠错编码。BCH码定义如下：给定任意一个有限域GF(q)及其扩展域GF(q^m)，其中q是素数或素数的幂，m为正整数。对于任意一个码元取自扩展域GF(q^m)的循环码(n,k)，其中n=2^m-1，其生成多项式g(x)具有2t个连续的根{a^1,a^2,a^,...,a^(2t-1),a^(2t)}，则由生成多项式g(x)编码产生的循环码称为q进制的BCH码，记为(n,k,t)。当码长n=2^m-1，称为本原BCH码，否则称为非本原BCH码。
最常用的BCH码是二进制的BCH码。二进制BCH码的所有码元都是由0和1构成，便于硬件电路的实现。如无说明，本文以下讨论的BCH码都是二进制BCH码。二进制本原BCH码具有以下重要参数：
BCH码的生成多项式是由GF(q^m)的2t个最小多项式最小公倍式的乘积，纠错能力为t的BCH码生成多项式为g(x)=LCM{m1(x),m2(x),...,m2t-1(x),m2t(x)}，其中LCM表示最小公倍式，m(x)为最小多项式。
由多项式理论知道，如果有限域GF(2^m)中的元素a^i是m次即约多项式mi(x)的根，则(a^i)^2,(a^i)^4,(a^i)^8,...也是mi(x)的根，(a^i)^2,(a^i)^4,(a^i)^8,...称为共轭根系。如果两个根共轭，则它们具有相同的
最小多项式。因此生成多项式g(x)=LCM{m1(x),m2(x),...,m2t-1(x),m2t(x)}=m1(x)*m3(x)*...*m2t-1(x)通过以上步骤就可以求出BCH码的生成多项式。得到生成多项式就可以对信息进行编码。
BCH码编码原理
将未编码的k位数据记为多项式：
m(x)=m0+m1*x^1+m2*x^2+...+mk-1*x^k-1;其中mi属于{0,1}
将生成多项式记为：
g(x)=g0+g1*x1+g2*x^2+...+gr*x^r,其中r=m*t，校验位记为r(x)，则
r(x)=x^r*m(x) mod g(x)
编码后的BCH码字多项式可记为：
C(x)=x^r*m(x)+x^r*m(x) mod g(x)
BCH编码实现的关键是通过除法电路得到校验位多项式。编码的过程可总结为：
戈帕码
这是一种重要的线性
分组码，它不仅包括常见的诸如本原BCH码等大量的
循环码类,还包括相当多的非循环线性分组码类，并且后一种码具有良好的渐近特性。
戈帕码的理论实质在于将每一个码矢量与一个有理分式相对应。q是某一个素数幂，g(z)是域GF(q)上的任意多项式，L表示域GF(q)中所有不为g(z)之根的元素所成之集合，|L|代表L中元素的数目。于是存在一个以GF(q)为符号域，以GF(q)为位置域的线性
分组码。码长为|L|，它的各码元用L中的元素来标志。这种码可定义为满足条件
的一切GF(q)上的全体|L|维矢量的集合，式中 这种码称为戈帕码，称g(z)为戈帕多项式。
例如，q=2,m=2，g(z)=z+α,α是域GF(z)上的本原元素 α+α+1=0 α3=1
则
于是
可验证,(1，1，1)即为这一
戈帕码的码字。戈帕码也有类似于BCH码的
译码方法。
自50年代
分组码的理论获得发展以来，分组码在数字通信系统和数据存储系统中已被广泛应用。由于大规模和
超大规模集成电路的迅速发展，人们开始从易于实现的
循环码理论研究中解脱出来，更重视研究性能良好的非循环
线性分组码和非线性分组码。人们在分组码研究中又引进了频谱方法，这一研究方向受到了较多的注意。
其他码制
里德-索洛蒙码
这是一种特殊的非
二进制BCH码。对于任意选取的正整数s,可构造一个相应的码长为n=q-1的q进制BCH码,其中码元符号取自
有限域GF(q)，其中q为某一素数的幂。当s=1,q>2时所建立的码长为n=q-1的q进制BCH码便称为里德-索洛蒙码,简称为RS码。当q=2(m>1),码元符号取自域GF(2)的
二进制RS码可用来纠正成区间出现的突发错误。这种码在短波信道中特别有用。
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