贝尔曼-福特算法

求解单源最短路径问题的算法

贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford）是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）和莱斯特·福特创立的，求解单源最短路径问题的一种算法。有时候这种算法也被称为 Moore-Bellman-Ford 算法，因为 Edward F. Moore 也为这个算法的发展做出了贡献。它的原理是对图进行V-1次松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于迪科斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高，高达O(VE)。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。

算法简介

贝尔曼-福特算法（英语：Bellman–Ford algorithm），求解单源最短路径问题的一种算法，由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）和莱斯特·福特创立的。有时候这种算法也被称为 Moore-Bellman-Ford 算法，因为Edward F. Moore也为这个算法的发展做出了贡献。它的原理是对图进行次松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于迪科斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高，高达。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。

贝尔曼-福特算法与迪科斯彻算法类似，都以松弛操作为基础，即估计的最短路径值渐渐地被更加准确的值替代，直至得到最优解。在两个算法中，计算时每个边之间的估计距离值都比真实值大，并且被新找到路径的最小长度替代。然而，迪科斯彻算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点，然后对其的出边进行松弛操作；而贝尔曼-福特算法简单地对所有边进行松弛操作，共次，其中是图的点的数量。在重复地计算中，已计算得到正确的距离的边的数量不断增加，直到所有边都计算得到了正确的路径。这样的策略使得贝尔曼-福特算法比迪科斯彻算法适用于更多种类的输入。

贝尔曼-福特算法的最多运行（大O符号）次，和分别是节点和边的数量）。

伪代码表示

原理

松弛

每次松弛操作实际上是对相邻节点的访问，第次松弛操作保证了所有深度为n的路径最短。由于图的最短路径最长不会经过超过条边，所以可知贝尔曼-福特算法所得为最短路径。

负边权操作

与迪科斯彻算法不同的是，迪科斯彻算法的基本操作“拓展”是在深度上寻路，而“松弛”操作则是在广度上寻路，这就确定了贝尔曼-福特算法可以对负边进行操作而不会影响结果。

负权环判定

因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第次操作仍可降低花销，就一定存在负权环。

优化

循环的提前跳出

在实际操作中，贝尔曼-福特算法经常会在未达到次前就出解，其实是最大值。于是可以在循环中设置判定，在某次循环不再进行松弛时，直接退出循环，进行负权环判定。