CW复形

代数拓扑概念

CW复形是由一些（有限多个或无穷多个）胞腔从低维到高维逐层堆积而成的空间。

简介

CW复形是划分为各维胞腔的豪斯多夫空间。

定义

设X为豪斯多夫空间。则CW复形为X与其闭子空间上升列X0⊂X1⊂X2⊂...，满足

(1)X0定义了离散拓扑。

(2)Xn+1为jλ:Snλ→Xn与Snλ↪Dn+1的推出。

(3)X=⋃i≥0Xi。

其中，X0的点称为顶点或0胞腔，Xn称为n骨架。

等价定义

CW复形是由称为底空间的豪斯多夫空间X，和X划分为不相交子集全体{ed}构成的，使下述条件满足：

1、每个ed拓扑地是一个n(d)>0维的开胞腔。进而，对每个胞腔ed，存在一个连续映射f:Dn(d)→X，它把圆盘Dn(d)的内部同胚地映到ed上（f称为胞腔ed的示性映射）；

2、属于闭包而不属于ed的每个点，必定位于低维胞腔eβ中；

3、闭包有限性。X的每点包含在一个有限的子复形中；

4、怀特黑德拓扑/弱拓扑。X的拓扑为它的n维骨架Xn拓扑的归纳极限：X的一个子集A是闭的，当且仅当对所有Xn都有A⋂Xn的交是闭的。其中X0定义了离散拓扑。

性质

1.若(X,A)为相对CW复形，则商空间X/A为CW复形，其中一个顶点对应A，且每个n维胞腔对应(X,A)中的相对n维胞腔。

2.对于若干基点为顶点的CW复形Xi，其楔积为CW复形，且每个Xi都是其子复形。

3.若A是CW复形X的子复形，Y是CW复形，f:A→Y为胞腔式映射，则X与Y的推出为CW复形，且。

4.CW复形的包含映射Xn↪Xn+1的归纳极限为CW复形，且每个Xi都是其子复形。

5.一对CW复形X与Y的积X×Y是CW复形，且每个n维胞腔都由X的p维胞腔与Y的q维胞腔组成，满足p+q=n。

6.对CW复形X，X×I是CW复形，且为其子复形，且每个n+1维胞腔都对应X的一个n维胞腔。

相关概念

正则CW复形

一个CW复形被称为正则的，当且仅当对每个胞腔en，n>0，存在一个示性映射是同胚映射。

相对CW复形

相对CW复形(X,A)的定义与CW复形类似，只是把X0定义为A与离散点集的并集。

子复形

CW复形X的一些胞腔的并集，称为X的子复形。

胞腔式映射

设f为相对CW复形之间的映射，若对所有n∈ℕ，满足f(Xn)⊂Yn，则称f为胞腔式映射。

例子

图为一维CW复形。

可三角剖分空间为CW复形。

流形为CW复形。

应用

单纯复形是CW复形的特例。同伦论中往往需要在拓扑空间上定义满足某种条件的连续映射，这对非常一般的拓扑空间来说很难着手。但对于CW复形，则可以从低维到高维，在一个一个胞腔上给出定义，即采用“逐层扩张”的方式得到所需要的连续映射。

如果扩张到某一层遇到阻碍，就产生阻碍上闭链，阻碍上同调类等，这样就能利用同调来讨论关于连续映射的扩张或同伦等问题。

豪斯多夫空间

拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。

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