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散度

物理学术语

散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点的矢量场场线没有发出也没有汇聚。

定义
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。水平散度是气体在单位时间内水平面积的变化率。如果面积增大，散度取正值，为水平辐散；如果面积缩小，散度取负值，为水平辐合。三维空间的散度表示任意气块在单位时间内其单位体积的变化率。气块的体积膨胀称为辐散，气块体积收缩称为辐合。
在大气科学中散度指衡量速度场辐散、辐合强度的物理量。单位为/秒。表示单位时间内体积的膨胀率。在不可压缩流体中散度为0，所以水平方向有辐散或辐合，垂直方向就会发生补偿性的收缩和延伸，而出现垂直运动。因此，可以通过水平散度计算大气中的垂直速度。
对于一个矢量场 而言，散度有两种不同的定义方式。
第一种定义方式和坐标系无关：
第二种定义方式则是在直角坐标系下进行的：
设向量场的表示为其中的分别是X轴、Y轴、Z轴方向上的单位向量，场的分量具有一阶连续偏导数，那么向量场的散度就是：
可以证明，在极限存在的情况下，两种定义是等价的。因此也常直接用 代表 的散度。
由散度的定义可知， 表示在某点处的单位体积内散发出来的矢量 的通量，所以 描述了通量源的密度。举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。
从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。
运算法则
(a,b为常数) (线性运算)
( 为标量场)
(旋度场无源)
不同坐标系下的散度表达式
矢量V的散度在笛卡尔坐标（直角坐标系）下的表达式：
矢量V的散度在球坐标下的表达式：
矢量V的散度在柱坐标下的表达式：
高斯散度定理
既然向量场某一处的散度是向量场在该处附近通量的体密度，那么对某一个体积内的散度进行积分，就应该得到这个体积内的总通量。可以证明这个推论是正确的，称为高斯(Gauss)散度定理，或高斯公式。其用数学语言表示为：
高斯公式说明，如果在体积 内的向量场 拥有散度，那么散度 的体积分等于向量场在 的表面 的面积分。
应用
电磁学、电动力学中
静电场 的散度不为零、旋度为零，是有源无旋场。
静磁场 的散度为零、旋度不为零，是有旋无源场。
气象学中
散度可以表示流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。散度值为负时为辐合，此时有利于气旋等对流天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于反气旋等天气系统的发展。
往往，气象学中应用最多的是风速的“水平散度”。
水平散度的表达式是：
其中u是x轴方向的风速大小，v是y轴方向的风速大小。
一般来说，x轴表示纬圈切线方向(自西向东为正)，y轴表示经圈切线方向(自南向北为正)。
流体力学
散度等于零的矢量场称为无源场或管形场。流体力学中，密度散度为零的流体称为不可压缩流体，也就是说每个微小时间间隔中流入一个微小体元的流体总量都等于在此时间间隔内流出此体元的流体总量。
对于可压缩的流体，有下述方程成立：
即密度的变化率等于动量的散度。
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