埃尔斯伯格悖论

1961年丹尼尔·艾尔斯伯格提出的悖论

艾尔斯伯格悖论是决策论中的一个悖论，1961年由学者丹尼尔·艾尔斯伯格提出，以证明预期效用理论存在逻辑不一致的问题。

推导过程

1954年，萨维奇(L．J．Savage)由直觉的偏好关系推导出概率测度，从而得到一个由效用和主观概率来线性规范人们行为选择的主观期望效用理论。他认为该理论是用来规范人们行为的，理性人的行为选择应该和它保持一致性。在他的理论中，有一个饱受争议的确凿性原则(The Sure-Thing Principle)，它表明行为中间的优先不取决于对两个行为有完全等同结果的状态，只要两个行为在某种情形之外是一致的，那么在这种情形之外发生的变化肯定不会影响此情形下行为人对两个行动的偏爱次序关系。

实例推导

1961年，埃尔斯伯格(Daniel Ellsberg)在一篇论文中通过两个例子向主观期望效用理论提出了挑战。他的第一个例子是提问式的，表述如下：

在你面前有两个都装有100个红球和黑球的缸I和缸Ⅱ，你被告知缸Ⅱ里面红球的数目是50个，缸I里面红球的数目是未知的。如果一个红球或者黑球分别从缸I和缸Ⅱ中取出，那么它们分别被标为红I、黑I、红Ⅱ和黑Ⅱ。从这两个缸中随机取出一个球，要求你在球被取出前猜测球的颜色，如果你的猜测正确，那么你就获得$100，如果猜测错误，那么什么都得不到。为了测定你的主观偏好次序，你被要求回答下面的问题：

(1)你偏爱赌红I的出现，还是黑I，还是对它们的出现没有偏见?

(2)你偏爱赌红Ⅱ，还是黑Ⅱ?

(3)你偏爱赌红I，还是红Ⅱ?

(4)你偏爱赌黑I，还是黑Ⅱ?

埃尔斯伯格发现大多数人对问题1和问题2的回答是没有偏见。但是对问题3的回答是更偏爱于打赌红Ⅱ的出现，对问题4的回答是更偏爱于打赌黑Ⅱ的出现。

他认为，按照萨维奇的理论，假定你赌红Ⅱ，那么作为一个观察者将实验性地推断你是认为红Ⅱ的出现比红I的出现更有可能。同时你打赌于黑Ⅱ，则可推断你认为黑Ⅱ比黑I更有可能发生。但是，我们根据概率的知识知道这是不可能的，因为，如果黑Ⅱ比黑I更有可能出现，那么红I一定比红Ⅱ更有可能出现，所以，不可能从你的选择中推断出概率，也就是说你的行为选择根本不是在概率的启迪性判断下做出的，因此，在不确定情形下，主观概率不能赋值，没有概率测度能被确定。

埃尔斯伯格给出的另外一个例子直接针对确凿性原则，表述如下：

在一个缸里装有30个红球和60个不知道比例的黑球和黄球。从缸中随机取出一个球，要求人们对下面两种情形下的四种行为进行选择。

行为I是对红球的一个赌，当一个红球被取出可以得到$100，其他颜色的球被取出则什么都得不到；

行为Ⅱ是对黑球的一个赌，当一个黑球被取出可以得到$100，其他颜色的球被取出则什么都得不到。

行为Ⅲ是对红球或者黄球的一个赌，当红球和黄球被取出可以分别得到$100，黑球被取出则什么都得不到；

行为Ⅳ是对黑球或者黄球的一个赌，当黑球和黄球被取出可以分别得到$100，红球被取出则什么都得不到。

结果分析

可以看到，这两种情形的区别仅仅在于第二种情形多了一个有完全等同结果的状态，即黄球被取出可以得到$100。根据确凿性原则，人们对行为I和行为Ⅱ之问的偏好关系应该和对行为Ⅲ和行为Ⅳ之间的偏好关系相一致。就是说，如果在第一种情形下选择了行为I，那么在第二种情形下应该选择行为Ⅲ；如果第一种情形下选择了行为Ⅱ，那么在第二种情形下应该选择行为Ⅳ。

但是，埃尔斯伯格发现大多数人在第一种情形中选择了行为I，同时在第二种情形中选择了行为IV；较少一些人在第一种情形中选择了行为Ⅱ，同时在第二种情形中选择了行为Ⅲ。而这两种选择模式都违背了确凿性原则，因此，人们实际的行为选择明显与主观期望效用理论的结果不相一致。并且，他还得到一个重要的发现。他说：“在重新思考所有他们按照这个原则‘犯错的’决定后，许多人——他们不仅是富有经验的，而且是理智的——都决定他们希望坚持他们的选择。这其中包括先前感觉对这个原则有一个‘首位的信奉’的人，他们发现在这些情形里，他们想要违背了确凿性原则，许多人很惊讶，一些人很沮丧。”

埃尔斯伯格所揭示的问题确实对主观期望效用理论产生了严重的冲击，因为他进行实验的对象不少是统计学家和经济学家，不仅这些人中的大多数，其中包括萨维奇本人都做出了“错误的”选择，而且有不少人在重新思考过后仍然不愿意改变自己的选择，这似乎说明主观期望效用理论并不具有规范性的作用。正如埃尔斯伯格所言：“在上面例子中，比起Ⅱ更愿选择I和比起Ⅲ更愿选择Ⅳ的个体(或者，比起I更愿选择Ⅱ，比起Ⅳ更愿选择Ⅲ)并不简单地在行动，‘好像’他们对正在讨论的事件赋予了数字的或者甚至定性的概率。对他们来说，这正如有别的方法来指导行动。

悖论启示

风险是概率分配已知的情形，而不确定是概率分配不清楚的情形，因此，埃尔斯伯格悖论和阿莱斯悖论的不同在于，它暗示了在风险和不确定情形下的决策应该有所不同。

埃尔斯伯格的例子得到了现代心理学的证实，前景理论(Prospect Theory)就认为决策加权的来源包括风险，人们更喜欢打赌于一个缸，它的里面装了相等数目的红球和黑球，而不喜欢打赌另外一个装了未知数目红球和黑球缸。更通常地，人们的偏好不仅依赖于他们的不确定程度，而且依赖于不确定的来源，这种现象被称为来源相依(Source Dependence)。

特韦尔斯凯(Amos Tversky)认为来源相依有来源偏好和来源敏感性两个方面。来源偏好因为损失减小加权函数，因为赢利增加加权函数，在埃尔斯伯格例子中，人们对于已知概率的缸的偏好优于未知概率的缸正好阐明了这个关系。并且特韦尔斯凯提出“人们对不确定比对风险的敏感较小的调查结果显示了不确定增强了从期望效用的背离⋯⋯最终，人们经常更喜欢打赌于未知概率，而不是打赌于已知概率的观察资料需要对结论重新评估，这个结论通常来自埃尔斯伯格的例子。它显示了人们更喜欢风险而不是不确定，当他们感觉消息不灵通或者是无能力的时候。但是在其他的情形下，人们经常打赌于不确定的来源(比如体育或者天气)而不是风险。

这样一来，埃尔斯伯格所言的人们决策的时候有着别的方法来指导的想法就可以通过前景理论来说明。前景理论认为并不能用完全的理性来规范人们实际的行为，主观期望效用理论的一些理性的假设并不成立，实际上，人们的行为选择要受到心理因素的影响，是受理性和心理因素共同作用的结果。因此，关于人们行为的决策理论只能是描述性的，这不仅可以解释人们实际行为偏离理性预测的原因，而且为行为决策理论的研究指明了新的方向。

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