FIR滤波器

滤波器

FIR(Finite Impulse Response)滤波器：有限长单位冲激响应滤波器，又称为非递归型滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。

工作原理

在进入FIR滤波器前，首先要将信号通过A/D器件进行模数转换，把模拟信号转化为数字信号；为了使信号处理能够不发生失真，信号的采样速度必须满足香农采样定理，一般取信号频率上限的4-5倍做为采样频率；一般可用速度较高的逐次逼进式A/D转换器，不论采用乘累加方法还是分布式算法设计FIR滤波器，滤波器输出的数据都是一串序列，要使它能直观地反应出来，还需经过数模转换，因此由FPGA构成的FIR滤波器的输出须外接D/A模块。FPGA有着规整的内部逻辑阵列和丰富的连线资源，特别适合于数字信号处理任务，相对于串行运算为主导的通用DSP芯片来说，其并行性和可扩展性更好，利用FPGA乘累加的快速算法，可以设计出高速的FIR数字滤波器。

硬件分类

FIR滤波器的硬件实现有以下几种方式：

集成电路

一种是使用单片通用数字滤波器集成电路，这种电路使用简单，但是由于字长和阶数的规格较少，不易完全满足实际需要。虽然可采用多片扩展来满足要求，但会增加体积和功耗，因而在实际应用中受到限制。

DSP芯片

另一种是使用DSP芯片。DSP芯片有专用的数字信号处理函数可调用，或者根据芯片指令集的结构自行设计代码实现FIR的功能；由于FIR设计时其系数计算及其量化比较复杂，因此一般都采用MATLAB软件作为辅助设计，计算出FIR的系数；然后进行代码设计实现。实现FIR滤波器相对简单，但是由于程序顺序执行，速度受到限制。而且，就是同一公司的不同系统的DSP芯片，其编程指令也会有所不同，开发周期较长。

可编程

还有一种是使用可编程逻辑器件，FPGA/CPLD。FPGA有着规则的内部逻辑块阵列和丰富的连线资源，特别适合用于细粒度和高并行度结构的FIR滤波器的实现，相对于串行运算主导的通用DSP芯片来说，并行性和可扩展性都更好。

特点介绍

有限长单位冲激响应（FIR）滤波器有以下特点：

(1) 系统的单位冲激响应h (n)在有限个n值处不为零

(2) 系统函数H(z)在|z|>0处收敛，极点全部在z = 0处（因果系统）

(3) 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。

设FIR滤波器的单位冲激响应h (n)为一个N点序列，0 ≤ n ≤N —1，则滤波器的系统函数为

H(z)=∑h(n)*z^-k

就是说，它有（N—1）阶极点在z = 0处，有（N—1）个零点位于有限z平面的任何位置。

基本结构

FIR滤波器有以下几种基本结构：

横截型

（7.10）式的系统的差分方程表达式为

y(n)=∑h(m)x(n-m)　( 7.11）

很明显，这就是线性时不变系统的卷积和公式，也是x (n)的延时链的横向结构，称为横截型结构或卷积型结构，也可称为直接型结构。将转置定理，可得到转置直接型结构。

级联型

将H (z)分解成实系数二阶因子的乘积形式

（7.12）

其中[N/2]表示取N/2的整数部分。若N为偶数，则N—1为奇数，故系数B2K中有一个为零，这是因为，这时有奇数个根，其中复数根成共轭对必为偶数，必然有奇数个实根。画出N为奇数时，FIR滤波器的级联结构，其中每一个二阶因子用横型结构。

这种结构的每一节控制一对零点，因而再需要控制传输零点时，可以采用它。但是这种结构所需要的系数B2k（I = 0，1，2，k，= 1，2，．．．，[N/2]）比卷积型的系数h (n)要多，因而所需的乘法次数也比卷积型的要多。

频率抽样

在第三章中已说过，把一个有限长序列（长度为N点）的z变换H (z)在单位圆上作N等分抽样，就得到H (k)，其主值序列就等于h (n)的离散傅里叶变换H (k)。那里也说到用H (k)表示的H (z)的内插公式为

（7.13）

这个公式就为FIR滤波器提供了另外一种结构，这种结构由两部分级联组成。

（7.14）

其中级联的第一部分为

(7.15）

这是一个FIR子系统，是由N节延时单元构成的梳状滤波器，令

则有

即Hc (z)在单位圆上有N个等间隔角度的零点，它的频率响应为

（7.16）

因而幅度响应为

幅角为

其子网络结构及频率响应幅度。

级联的第二部分为

它是由N个一阶网络并联组成，而这每一个一阶网络都是一个谐振器

（7.17）

令H'k(z)的分母为零，即令

可得到此一阶网络在单位圆上有一个极点

也就是说：此一阶网络在频率为

处响应为无穷大，故等效于谐振频率为2πk / N的无损耗谐振器。这个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点（I = k）相抵消，从而使这个频率（ω= 2πk / N）上的频率响应等于H (k)。这样，N个谐振器的N个极点就和梳状滤波器的N个零点相互抵消，从而在N个频率抽样点上（ω= 2πk / N，k = 0，1，．．．，N —1）的频率响应就分别等于N个H (k)值。

N个并联谐振器与梳状滤波器级联后，就得到频率抽样结构。

频率抽样结构的特点是它的系数H (k)就是滤波器在ω= 2πk / N处的响应，因此控制滤波器的频率响应很方便。但是结构中所乘的系数H (k)及WN都是复数，增加了乘法次数和存储量，而且所有极点都在单位圆上，由系数WN决定，这样，当系数量化时，这些极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消（零点由延时单元决定，不受量化的影响）。系统就不稳定了。

为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，可以将频率抽样结构做一点修正，即将所有零、极点都移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为r (r小于或近似等于1)的圆上（r为正实数）。

快速卷积

前一章谈到，只要将两个有限长序列补上一定的零值点，就可以用圆周卷积来代替两序列的线性卷积。由于时域的圆周卷积，等效到频域则为离散傅立叶变换的乘积。因而，如果

即将输入x (n)补上L—N1个零值点，将有限长单位冲激响应h (n)补上L—N2个零值点，只要满足L >= N1 + N2—1，则L点的圆周卷积就能代表线性卷积，即

用DFT表示，则有

Y(k) =X(k)H(k)

因而有

其中

Y(k) = DFT[y (n)]，L点

X(k) = DFT[x(n)]，L点

H(k) = DFT[h (n)]，L点

这样，我们就可得到快速卷积结构，当N1，N2足够长时，它比直接计算线性卷积要快得多。这里计算DFT和IDFT都采用快速傅立叶变换计算方法。