毕达哥拉斯

古希腊思想家、哲学家、数学家、科学家、占星师

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约前500年或前490年）是一名古希腊数学家、哲学家。生于爱琴海萨摩斯岛（今希腊东部小岛）的贵族家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。

人物生平

公元前580年，毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛（今希腊东部的小岛）——爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一，此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。

毕达哥拉斯的父亲是一个富商，九岁时被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习，在这里他接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚。

公元前551年，毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯等地，拜访了数学家、天文学家泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯，并成为了他们的学生。在此之前，他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。

公元前550年，30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学，穿东方人服装，蓄上头发从而引起当地人的反感，从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见，认为他标新立异，鼓吹邪说。毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，学习当地神话和宗教，并在提尔一神庙中静修。

抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字和埃及神话、历史和宗教，并宣传希腊哲学，受到许多希腊人尊敬，有不少人投到他的门下求学。

毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校，但是没有达到他预期的成效。

公元前520年左右，为了摆脱当时君主的暴政，他与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯，移居西西里岛，后来定居在克罗托内。在那里他广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体。

他的演讲吸引了各阶层的人士，很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了。

毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东成立了一个秘密结社，这个社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。

他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。他们相信依靠数学可使灵魂升华，通过数学能窥探神的思想，万物都包含数，甚至万物都是数，数是变化多端的世界背后的真相。这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。

学派的成员有着共同的哲学信仰和政治理想，他们吃着简单的食物，进行着严格的训练。学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从。他们开始在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高的声誉，产生过相当大的影响，也因此引起了敌对派的嫉恨。后来他们受到民主运动的冲击，社团在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰托），并于公元前500年去世，享年80岁。

许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯重新建立据点，另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动，直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。

传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那么就给他三块银币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。

主要成就

数论的研究

毕达哥拉斯在数是万物本原的数学哲学思想指导下，潜心研究数学，给数赋予了很多特殊的含义，毕达哥拉斯认为六面体中包含有地球的奥秘，四棱锥中蕴藏有火的含义，十二面体中囊括有宇宙的神秘。还把数分为聪明的、愚蠢的、知足的、不知足的，并且给出了平均数、亲和数和完全数的概念。

同时，毕达哥拉斯还把自然数划分为奇数、偶数、三角数和五角数等几种不同类型的数。毕达哥拉斯认为，这些不同的抽象的数便是宇宙万物的始基，不同情况的数按照数量的多少或它们之间不同的比例关系组成或构成宇宙中不同的物体，这就形成了宇宙中物体多与一的统一。

毕达哥拉斯还把数从具体事物中抽象出来。他从三张桌子、三棵树、三把椅子、三个人、三头大象等具体事物中分离出了“三”这个数，看起来很平常的事情，但对后来的数学哲学来说，其意义非常巨大，使得人们对数学研究的视野从名数进入到常数,使得人们研究万物的本原从具体的事物中抽象为脱离了具体事物的数，对后世数学和哲学的发展起到了重要的推动作用。

毕达哥拉斯定理（勾股定理）

据说毕达哥拉斯定理的发现历史上有这样的记载，毕达哥拉斯到一位朋友家做客，大家都在无聊地等待开饭，而毕达哥拉斯利用这段时间仔细观察朋友家美丽方形的瓷地板砖，在毕达哥拉斯万物皆数思想的驱动下，必然想到了它们和“数”之间有什么联系。于是他拿出一支笔蹲在地上，以其中一块瓷砖的对角线为边画正方形，发现这个正方形的面积恰好等于两块瓷砖的面积之和。

虽然在毕达哥拉斯之前，已有很多人在探究它，但是，毕达哥拉斯是第一个把勾股定理普遍化的人(由适用于特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形)。把反映直角三角形三边关系的毕达哥拉斯定理(勾股定理)进行量化进行抽象、进行较为严格的逻辑证明。

黄金分割

毕达哥拉斯，在万物皆数的数学哲学思想指导下，认真研究了事物内部的数的结构和数的比例关系，于公元前6世纪发现了黄金分割，有人称之为“神圣分割”。

黄金分割实质上就是把一条线段分成长短不等的两部分，较长的部分与较短的部分之比等于整个部分与较长部分之比，其比值就是1:0.618或1.618:1，由此导出了0.618或1.618这个黄金数字。

天文学

毕达哥拉斯将数学引入了天文研究。他们构建了一个完整的宇宙体系。毕达哥拉斯认为十是一个完满的数目。“人们根据存在于‘十’之中的能力研究‘数’的活动和本质；因为它‘十’是伟大的、完善的、全能的。”作圆周运动的天体共有十个。或是这十个天体的中心地球不是中心。哥白尼承认毕达哥拉斯的宇宙学说是其假说的先驱。

音乐

毕达哥拉斯不仅是古希腊时期著名的哲学家，他还是西方音乐史上第一位音乐理论家。毕达哥拉斯认为万物的本源是“数”，用数学的原则可以推演一切事物。在音乐方面，他把“数”与音乐联系在一起，提出“数”是音乐的根源，即“音乐是数字”。这种观点是从“数学”的角度对音乐进行思考和研究，使音乐具有了理性的意识，从而开阔音乐领域的视野。毕达哥拉斯在音乐中渗透了“数学”逻辑的精准理念，把音乐和科学联系在一起，超出了音乐感性的审美体验。从毕达格拉斯提出“数学与音乐”的观点开始，西方音乐史上就没有停止过关于“数学与音乐”的研究。

人物思想

唯心论

毕达哥拉斯属于唯心主义的哲学家，他用数来说明人的本性、社会道德和一切，认为整个宇宙由数产生。“十”最和谐。他认为，整个宇宙，一切事物都是按照数的和谐关系有秩序的建立起来的。人类是个大宇宙，具体每个人是个小宇宙也应和谐。

毕达哥拉斯认为，就是奇数和偶数所体现的各种对立美系的调和。他把这些对立关系归结为十种基本的关系，即奇数与偶数、一与多、有限与无限、左与右、阳与阴、动与静、直与曲、明与暗、善与恶、方与长。在这十种对立关系中，最根本的是一与多。数是从一开始的，万物的本质和始基就是一，如同线、面、体，都从点出发；1和2的对立就是奇数与偶数的对立；2可以分为多，因此1与2及它以后的数的对立就是一与多、有限与无限的对立。所有这些对立关系的调和，就构成万物的秩序。

道德归于灵魂产生的，人是灵魂和肉体组成的和谐的整体，人的本性、道德、幸福等都是取决于灵魂。灵魂是自己推动自己的数，灵魂分有神性，由此得出灵魂不死，只有人才有灵魂，肉体死亡后灵魂会植入动、植物中，灵魂不死。知道自己2700年前的四个化身，把人的本性和道德根源归结为神秘的数，是唯心的，否定了人性和道德与外部世界的关系，实质上是否定人们追求现实物质利益的必要性，代表奴隶主贵族的利益，否定新兴奴隶主民主派和平民为现实利益斗争的必要性、合理性。

毕达哥拉斯研究数不是为了实际应用，而是想通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。信奉万物皆数，认识到音乐的数学性质，并借助天体的音乐把这种观念推广到宇宙万物神秘的数字和谐性。

美育观

毕达哥拉斯学派从音乐的和谐及人与艺术的关系，认为由于人的内在和谐与外在和谐的“同声相应”，人才能欣赏艺术和美，进而强调音乐的美育“净化”作用。毕达哥拉斯及其学派提出的音乐净化灵魂的主张，可以说是西方最早的美育思想。毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原、始基、原则：“一切其它事物，就其整个本性来说，都是以数为范例的。毕达哥拉斯不仅把数的原则运用于白然事物、宇宙运动(宇宙的秩序是数的和谐)之中，也运用于社会事物及人的活动之中。他们把数的原则和美关联起来，强调“秩序和匀称都是美的和有用的，而无秩序和不匀称则是丑的和无用的”，“身体美确实在于部分之间的比例对称”。毕达哥拉斯学派不仅把美和数、比例、和谐联系起来，同时把和谐、秩序引进人生、社会领域，认为它关系到人的灵魂的“净化”与永恒生命的获得。由此，他不仅为宇宙、自然寻求不变的秩序和原则，而且把灵魂的“净化”、“和谐”以及追求一种理想化、永恒化的秩序建构作为哲学的主旨。也正是从这时开始，希腊哲学对人生、社会的理性化思考有了一种真正深刻的人文品格和审美品格。“在人身上最有力的部分是灵魂，灵魂可善可恶。人有了好的灵魂便是幸福的，他们从不休止，他们的生命是一个房屋的变化”。灵魂的净化，追求人生理想，寻求真理，既是对智慧的追求，也是人的生活方式。

他们把美的比例关系加以扩大，提出两个宇宙的概念，把人看作小宇宙，把世界看作大宇宙，认为人的身体跟宇宙天体一样，都由数的和谐原则统辖，人的内在和谐受到外在和谐的影响，一旦人的内在和谐与外在和下“同声相应”，人便进入了艺术欣赏的状态，从而对人的心灵产生净化作用。

美德观

毕达哥拉斯认为，美德乃是一种和谐，正如健康和神一样。友谊也是一种和谐的平等。因此，他在《金言》中，提出要敬神敬父母，要用道德标准选择朋友，对朋友要谦让、忍耐；对人言行要公平，甚至人说坏话也要谦逊地退让。他的这些思想，看起来是在一个狭隘的生活圈子里提出的道德忠告，并且仅仅是出手利己的经验和目的。但是，他试图从他所经验的团体和社会生活范围内，提炼出一种普遍性的道德要求，对于实际生活加上一个道德规则，还是有积极意义的。毕达哥拉斯作为“第一个试图讲道德”的学者，他的《金言》应该说是古希腊道德规范体系的雏形。

教育观

毕达哥拉斯学派的哲学和科学成就构成其教育思想的理论基础。在他们的哲学中最重要的部分是关于人、人的灵魂以及灵魂与宇宙万物关系的学说。毕达哥拉斯学派认为灵魂不灭和灵魂轮回。他们特别强调灵魂的净化和教育是实现净化灵魂的重要途径。策勒尔认为：“毕达哥拉斯团体的精神、原则和行止都植根于轮回学说。”在人生的道德观问题上毕达哥拉斯学派主张“和谐”和“秩序”。他们认为数的排列是和谐的、有序的所以社会也应当有和谐的秩序。按照几何比例的平等法则个人的权利应与其贡献相对应于是每个人在国家中便有了指定的地位。国家应该靠法律来规定和维系这种秩序和在各个等级之间则应当通过爱来沟通。他们认为美德乃是一种和谐。人们应该敬神、敬父母，对朋友要谦让、忍耐，对人言行要公平。这种理论实际上正是靠教育的导向、约束等功能来实现的。因此，毕达哥拉斯学派的哲学要求教育来保证其实现和教育，又借助其哲学获得了发展空间。

灵魂轮回

毕达哥拉斯接受了埃及祭司的灵魂不死的宗教迷信观念，认为人的灵魂分为三个部分，即表象、灵和生气。动物只有表象和生气面没有灵魂，人则具备三者。灵魂的位置是在人体的心到脑的部分。在心里的部分是生气，在脑子里的部分就是表象和心灵，即理性。他认为，灵魂的理性部分是不灭的。由此，他宣扬一种灵魂轮回说，鼓吹灵魂在人死后依照命运的规定，从一个生物体中转移到另一个生物体中，正如恩格斯所指出的：“在毕达哥拉斯学派那里，灵魂已经是不死的和不可移动的，肉体对它来说是纯偶然的。“不言面喻，按照命运的规定，人的灵魂也可以在人死后转生为狗的灵魂。传说有一天，毕达哥拉斯看到有人打狗，就非常怜悯地对那个人说：“不要打它，因为我听出了它的声音，是一个朋友的灵魂附着在它身上。”毕达哥拉斯是第一个把灵魂轮回说引入希腊的。这就使他在古希腊的哲学伦理思想发展史上，起了十分恶劣的作用，这种作用特别在柏拉图的哲学和伦理思想中突出地表现出来。

人物学派

简述

毕达哥拉斯学派亦称“南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织，由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。该学派产生于公元前6世纪末，公元前5世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学家、音乐家。它是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。

毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，在他的游历生活中，他受到当地文化的影响，了解到许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系。旅行结束后，他才返回家乡撒摩斯岛。由于政治的原因。他后来迁往位于南意大利的希腊港口克罗内居住。在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后来便发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。

毕氏学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐却被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。

毕达哥拉斯学派的当代研究主题主要集中在人的美学和社会归正，在这方面，当代人学家张荣寰将政治、学术、宗教回归到人的上升即人格极其生态的上升这一人类命运第一命题中，将一个科学的人类学、一个哲学的人类学、一个神学的人类学来求出人存在的某一层面“个性和共性”关系的成果，即更高质量人格的人，在生物性层次、在历史性层次、在社会性层次、在自我性层次予以贯通。

观点

1.人类幸福只能是人格社会的产物；是新人格，是新生态和谐共进的结果。

2.幸福不是宗派神学的禁欲体验，也不是礼教理学的享乐感受，更不是金钱地位的无限欲望，而是信念和向往实现的人格满足。

3.重视人的价值，要求提高人的思维能力及创造性潜力，鼓励积极作为的人生态度，提倡积极开拓的精神；

4.人人能够信仰真理。

5.以真诚的民主来反映现代社会人高智慧的社会存在。

6.提高人在群体公共事物中的智慧能力，在个人、家庭、团体、组织、国家、乃至联合国的制度中，让人与人相互之间的关系和谐发展。

7.宗教改革、文艺复兴和法制复兴的终极目标是人的归正。

规矩

1．禁食豆子。

2．东西落下了，不要用手拣起来。

3．不要去碰白公鸡。

4．不要擘开面包。

5．不要迈过门闩。

6．不要用铁拨火。

7．不要吃整个的面包。

8．不要招花环。

9．不要坐在斗上。

10．不要吃心。

11．不要在大路上行走。

12．房里不许有燕子。

13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。

14．不要在光亮的旁边照镜子。

15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。

所有这些诫命都属于原始的禁忌观念。

无理数

传说毕达哥拉斯的学生希帕索斯(Hippasus)发现了无理数。他在研究边长为一的正方形时发现其对角线不能用整数之比表达。这个发现打破了毕达哥拉斯及其信徒的信条。据传希帕索斯(Hippasus)因为公开了这件事而被学派投入大海丧生。但不论如何，无理数的发现为数学发展做出了重要贡献。

人物评价

康福德（《从宗教到哲学》）说，在他看来，“毕达哥拉斯代表着我们所认为与科学倾向相对立的那种神秘传统的主潮。”他认为巴门尼德——他称之为“逻辑的发现者” ——“是毕达哥拉斯的一个支派，而柏拉图本人则从意大利哲学获得了他的灵感的主要来源”。

他说毕达哥拉斯主义是奥尔弗斯教内部的一种改良运动，而奥尔弗斯教又是狄奥尼索斯崇拜中的改良运动。理性的东西与神秘的东西之互相对立贯穿着全部的历史，它在希腊人中间最初表现为奥林匹克的神与其他较为不开化的神之间的对立，后者更接近于人类学者们所研究的原始信仰。在这个分野上，毕达哥拉斯是站在神秘主义方面的，虽然他的神秘主义具有一种特殊的理智性质。他认为他自己具有一种半神明的性质，而且似乎还曾说过，“既有人，又有神，也还有象毕达哥拉斯这样的生物。”康福德说，受他所鼓舞的各种体系“都是倾向于出世的，把一切价值都置于上帝的不可见的统一性之中，并且把可见的世界斥为虚幻的，说它是一种混浊的介质，其中上天的光线在雾色和黑暗之中遭到了破坏，受到了蒙蔽”。

伯奈特把这种道德观总结如下：“我们在这个世界上都是异乡人，身体就是灵魂的坟墓，然而我们决不可以自杀以求逃避；因为我们是上帝的所有物，上帝是我们的牧人，没有他的命令我们就没权利逃避。在现世生活里有三种人，正象到奥林匹克运动会上来的也有三种人一样。那些来作买卖的人都属于最低的一等，比他们高一等的是那些来竞赛的人。然而，最高的一种乃是那些只是来观看的人们。因此，一切中最伟大的净化便是无所为而为的科学，唯有献身于这种事业的人，亦即真正的哲学家，才真能使自己摆脱‘生之巨轮’。”

文字涵义的变化往往是非常有启发意义的。我在上文已经提到“狂欢”（orgy）那个字；现在我就要谈谈“理论”（theory）这个字。这个字原来是奥尔弗斯教派的一个字，康福德解释为“热情的动人的沉思”。他说，在这种状态之中“观察者与受苦难的上帝合而为一，在他的死亡中死去，又在他的新生中复活”；对于毕达哥拉斯，这种“热情的动人的沉思”乃是理智上的，而结果是得出数学的知识。

这样，通过了毕达哥拉斯主义，“理论”就逐渐地获得了它的近代意义；然而对一切为毕达哥拉斯所鼓舞的人们来说，它一直保存着一种狂醉式的启示的成份。这一点，对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人们来说，好像是很奇怪的；然而对于那些时时经验着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们来说，对于那些喜爱数学的人们来说，毕达哥拉斯的观点则似乎是十分自然的，纵令它是不真实的。仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶，而纯粹的数学家，正象音乐家一样，才是他那秩序井然的美丽世界的自由创造者。

最有趣的是，我们从伯奈特叙述的毕达哥拉斯的伦理学里，可以看出与近代价值相反的观念。譬如在一场足球赛里，有近代头脑的人总认为足球员要比观众伟大得多。至于国家，情形也类似：他们对于政治家（政治家是比赛中的竞争者）的崇拜有甚于对于那些仅仅是旁观者的人们。这一价值的变化与社会制度的改变有关——战士、君子、财阀、独裁者，各有其自己的善与真的标准。君子在哲学理论方面曾经有过长期的当权时代，因为他是和希腊天才结合在一片的，因为沉思的德行获得了神学的保证，也因为无所为而为的真理这一理想庄严化了学院的生活。君子可以定义为平等人的社会中的一分子，他们靠奴隶劳动而过活，或者至少也是依靠那些毫无疑问地位卑贱的劳动人民而过活。应该注意到在这个定义里也包括着圣人与贤人，因为就这些圣贤的生活而论，他们也是耽于沉思的而不是积极活动的。

近代关于真理的定义，例如实用主义的和工具主义的关于真理的定义，就是实用的而不是沉思的，它是由于与贵族政权相反对的工业文明所激起的。

无论人们对于容许奴隶制存在的社会制度怀着怎样的想法，但正是从上面那种意义的君子那里，我们才有了纯粹的数学。沉思的理想既能引人创造出纯粹的数学，所以就是一种有益的活动的根源；这一点就增加了它的威望，并使它在神学方面、伦理学方面和哲学方面获得了一种在其他情况下所不能享有的成功。

关于毕达哥拉斯之作为一个宗教的先知与作为一个纯粹的数学家这两方面，我们已经解释得很多了。在这两方面，他都有着无可估计的影响，而且这两方面在当时也不象近代人所想象的那样是分离开来的。

大多数的科学从它们的一开始就是和某些错误的信仰形式联系在一片的，这就使它们具有一种虚幻的价值。天文学和占星学联系在一片，化学和炼丹术联系在一片。数学则结合了一种更精致的错误类型。数学的知识看来是可靠的、准确的，而且可以应用于真实的世界。此外，它还是由于纯粹的思维而获得的，并不需要观察。因此之故，人们就以为它提供了日常经验的知识所无能为力的理想。人们根据数学便设想思想是高于感官的，直觉是高于观察的。如果感官世界与数学不符，那么感官世界就更糟糕了。人们便以各种不同的方式寻求更能接近于数学家的理想的方法，而结果所得的种种启示就成了形而上学与知识论中许多错误的根源。这种哲学形式也是从毕达哥拉斯开始的。

正如大家所知道的，毕达哥拉斯说“万物都是数”。这一论断如以近代的方式加以解释的话，在逻辑上是全无意义的，然而毕达哥拉斯所指的却并不是完全没有意义的。

他发现了数在音乐中的重要性，数学名词里的“调和中项”与“调和级数”就仍然保存着毕达哥拉斯为音乐和数学之间所建立的那种联系。他把数想象为象是表现在骰子上或者纸牌上的那类形状。我们至今仍然说数的平方与立方，这些名词就是从他那里来的。

他还提到长方形数目、三角形数目、金字塔形数目等等。这些都是构成上述各种形状所必需的数目小块块（或者我们更自然一些应该说是些数目的小球球）。他把世界假想为原子的，把物体假想为是原子按各种不同形式排列起来而构成的分子所形成的。他希望以这种方式使算学成为物理学的以及美学的根本研究对象。

毕达哥拉斯的最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为3，4，5的话，则必有一个直角。但是显然希腊人是最早观察到32+42=52的，并且根据这一提示发现了这个一般命题的证明。然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数(无理数)的发现，这似乎否定了他的全部哲学。在一个等边直角三角形里，弦的平方等于每一边平方的二倍。让我们假设每边长一时，那么弦应该有多么长呢？让我们假设它的长度是m/n时。那么m2/n2=2。

如果m和n有一个公约数，我们可以把它消去，于是m和n必有一个是奇数。现在m2=2n2，所以若n是偶数，则m也是偶数；因此n就是奇数。假设m=2p。那么4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶数，与假设相反。所以就没有m/n的分数可以约尽弦。以上的证明，实质上就是欧几里德第十编中的证明①。

这种论证就证明了无论我们采取什么样的长度单位，总会有些长度对于那个单位不能具有确切的数目关系；也就是说，不能有两个整数m、n，从而使问题中的m倍的长度等于n倍的单位。这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。

柏拉图对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完成于欧几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西，例如(a+b)2=a2+b2+2ab。正是因为有不可公约数的困难，他才认为这种办法是必要的。他在第五编、第六编中论比例时，情形也是如此。整个体系在逻辑上是醒目的，并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了。只要关于不可公约数还没有恰当的算学理论存在时，则欧几里德的方法便是几何学中最好的可能方法。当笛卡儿介绍了坐标几何学（解析几何）从而再度确定了算学至高无上的地位时，他曾设想不可公约数的问题有解决的可能性，虽然在他那时候还不曾发现这种解法。

几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的。希腊人所建立的几何学是从自明的、或者被认为是自明的公理出发，根据演绎的推理前进，而达到那些远不是自明的定理。公理和定理被认为对于实际空间是真确的，而实际空间又是经验中所有的东西。这样，首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像是可能发现实际世界中一切事物了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。“独立宣言”“我们认为这些真理是自明的”，其本身便脱胎于欧几里德。十八世纪天赋人权的学说，就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理②。牛顿的《原理》一书，尽管它的材料公认是经验的，但是它的形式却完全是被欧几里德所支配着的。严格的经院形式的神学，其体裁也出于同一个来源。个人的宗教得自天人感通，神学则得自数学；而这两者都可以在毕达哥拉斯的身上找到。

我相信，数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的；无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的。这就提示了一种观点，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象；很自然地可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实。神秘主义关于时间与永恒的关系的学说，也是被纯粹数学所巩固起来的；因为数学的对象，例如数，如其是真实的话，必然是永恒的而不在时间之内。这种永恒的对象就可以被想象成为上帝的思想。因此，柏拉图的学说是：上帝是一位几何学家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算学。与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达哥拉斯之后，尤其是从柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法所支配着的。

数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了希腊的、中世纪的以及直迄康德为止的近代的宗教哲学的特征。毕达哥拉斯以前的奥尔弗斯教义类似于亚洲的神秘教。但是在柏拉图、圣奥古斯丁、托马斯·阿奎那、笛卡尔、斯宾诺莎和康德的身上都有着一种宗教与推理的密切交织，一种道德的追求与对于不具时间性的事物之逻辑的崇拜的密切交织；这是从毕达哥拉斯而来的，并使得欧洲的理智化了的神学与亚洲的更为直截了当的神秘主义区别开来。只是到了最近的时期，人们才可能明确地说出毕达哥拉斯错在哪里。我不知道还有什么别人对于思想界有过象他那么大的影响。我之所以这样说，是因为所谓柏拉图主义的东西倘若加以分析，就可以发现在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了。有一个只能显示于理智而不能显示于感官的永恒世界，全部的这一观念都是从毕达哥拉斯那里得来的。如果不是他，基督徒便不会认为基督就是道；如果不是他，神学家就不会追求上帝存在与灵魂不朽的逻辑证.明.。但是在他的身上，这一切还都不显著。

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