坐标几何

几何学分支

坐标几何，也叫解析几何，指借助笛卡尔坐标系，由笛卡尔、费马等数学家创立并发展。它是利用解析式研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支。

定义

坐标几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的——对应关系，以及曲线与方程之间的——对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。

解析几何（英语：analytic geometry），又称为坐标几何（英语：coordinate geometry）或卡氏几何（英语：Cartesian geometry），早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。

历史

古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）的解题、证明方式与现在使用坐标系十分相似，以至于有时会认为他是解析几何的鼻祖。阿波罗尼奥斯在《论切触》中解题方式在现在被称之为单维解析几何；他使用直线来求得一点与其它点之间的比例。阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中进一步发展了这种方式，这种方式与解析几何十分相似，比起笛卡儿早了1800多年。他使用了参照线、直径、切线与现进所使用坐标系没有本质区别，即从切点沿直径所量的距离为横坐标，而与切线平行、并与数轴和曲线向交的线段为纵坐标。他进一步发展了横坐标与纵坐标之间的关系，即两者等同于夸张的曲线。然而，阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何，但它没能完成它，因为他没有将负数纳入系统当中。在此，方程是由曲线来确定的，而曲线不是由方程得出的。坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了。

十一世纪波斯帝国数学家欧玛尔·海亚姆发现了几何与代数之间的密切联系，在求三次方程使用了代数和几何，取得了巨大进步。但最关键的一步由笛卡儿完成。

从传统意义上讲，解析几何是由勒内·笛卡儿（René Descartes）创立的。笛卡儿的创举被记录在《几何学》（La Geometrie）当中，在1637年与他的《方法论》一道发表。这些努力是以法语写成的，其中的哲学思想为创立无穷小提供了基础。最初，这些著作并没有得到认可，部分原因是由于其中论述的间断，方程的复杂所致。直到1649年，著作被翻译为拉丁语，并被冯·斯霍滕（van Schooten）恭维后，才被大众所认可接受。

费马也为解析几何的发展做出了贡献。他的《平面与立体轨迹引论》（Ad Locos Planos et Solidos Isagoge）虽然没有在生前发表，但手稿于1637年在巴黎出现，正好早于笛卡儿《方法论》一点。《引论》文字清晰，获得好评，为解析几何提供了铺垫。费马与笛卡儿方法的不同在于出发点。费马从代数公式开始，然后描述它的几何曲线，而笛卡儿从几何曲线开始，以方程的完结告终。结果，笛卡儿的方法可以处理更复杂的方程，并发展到使用高次多项式来解决问题。

发展

17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了坐标几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。在坐标几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。坐标几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤，坐标几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

基本理论

坐标

在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。

坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径r和角度θ表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。

曲线的方程

在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。

通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0 只对应(0 ,0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程x2+y2=r2代表了是半径为，r且圆心在(0, 0)上的所有圆。

距离和角度

在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡儿坐标系时，两点 A(x1,y1)，B(x2,y2) 之间的距离d（又写作|AB|）被定义为

上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为

其中m是线的斜率。

变化

变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。例如，母方程有水平和垂直的渐近线，处在第一和第三象限当中能够，它所有的变形都有水平和垂直的渐近线，出现在第一或第三、第二或第四象限当中。总的来说，如果y=f(x)，那么它可以变为y=af[b(x-k)]+h。新的变形方程，a因素如果大于1，就垂直拉伸方程；如果小于1，就压缩方程。如果a 值为负，那么方程就反映在 x-轴上。 b值如果大于1就水平压缩方程，小于1就拉伸方程。与a一样，如果为负就反映在y-轴上。k 和 h 值为平移，h 值是垂直，k 为水平。h 和 k 的正值意味着方程往数轴的正方向移动，负值意味这往数轴的负方向移动。

变化可以应用到任意几何等式中，不论等式是否代表某一方程。变化可以被认为是个体处理、或是组合处理。

交集

虽然本讨论仅限于平面xOy上，但它可以很容易地衍生为更高维的空间中。两个几何对象 P 和 Q 指代P(x, y) 和 Q(x, y)，其交集是所有点(x, y) 的集合。

截距

被广泛研究的一种交集是几何对象与 x 和 y 坐标轴的交集。

几何对象与y-轴的交集被称之为对象的 y-截距。与 x-轴的交集被称之为对象的 x-截距。

就线 y=mx+b 而言，参数b定义线在何处与 y-轴相交。据此， b 或点 (0, b) 被称之为 y-截距。

应用

解析几何中的重要问题：

现代解析几何

解析簇（analytic variety）定义为几个解析函数的共同解集。类似与实数与复数的代数簇。任何复流形都是一种解析簇。由于解析簇可能有奇点，但不是所有解析簇都是复数。

解析几何总体上来说等同与实数与复数代数几何，让·皮埃尔·塞尔在他的著作《代数几何与解析几何》（Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique）阐述了这个观点。然而，两个领域依然有其独特性，而证明方式也十分不同，代数几何也包括几何的有限特征。