平面，是在空间中，到两点距离相同的点的轨迹。在空间中，平面公式为A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0，其定义为与固定点(x0,y0,z0)的连线垂直于固定方向（A,B,C）的所有的点的集合。这两种定义在数学上是一致的。
简介
（1）平面无厚度；
（2）平面面积无法测量；
（3）平面是无限延伸的；
（4）平面内的一条直线将平面分成两部分；
（5）一个平面将空间分成两部分。
定义
平面的画法
画法
（2）当平面水平放置时，把平行四边形的锐角画成45°，
钝角画成135°，横边画成邻边的2倍长；
平面表示方法
（1）通常用
希腊字母α、β、γ写在一个角上。如：平面α、平面β。
（2）用四个顶点的字母或者两个相对顶点的字母来表示平面。如：平面ABCD、平面AC。
平面与直线
1、点A在平面α内，记作A∈α；点B不在平面α内，记作B∉α。
2、点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉I。
3、如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者平面α经过直线l，记作l⊂α，否则说直线l在平面α外，记作l⊄α。
4、平面α、β相交于直线l，记作α∩β=l。
公理
公理一 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理二 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理三 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
推论
推论一 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论二 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论三 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
平面相交判定
如果两个平面有一个公共点，就说这两个平面相交。
线面平行判定
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面平行判定
一 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
二 垂直于同一条直线的两个平面平行。
线面平行性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
平面平行性质
一如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
二如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。
线面垂直判定
一一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
二如果一条直线垂直于一个平面，那么与这条直线平行的直线垂直于该平面。
平面垂直判定
线面垂直性质
一 垂直于同一个平面的两条直线平行。
二 若直线垂直于平面，则直线垂直于这个平面的所有直线。
三平行于同一条直线的两条直线互相平行。
平面垂直性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示
(1)α∩β=A→α∩β=l,l⊂α
(2)l⊄α,l//m,m⊂α→l//α
(3)m⊂α,n⊂α,m∩n=O,m//β,n//β→α//β
(4)α⊥l,β⊥l→α//β
(5)l//α,l⊂β,α∩β=m→l//m
(6)α//β,α∩γ=l,β∩γ=m→l//m
(7)α//β,l⊂α→l//β
(8)l⊥m,l⊥n,m∩n=O,m⊂α,n⊂α→l⊥α
(9)m//n,α⊥m→n⊥α
(10)l⊂α,l⊥β→α⊥β
(11)α⊥m,α⊥n→m//n
(12)l⊥α,m⊂α→l⊥m
(13)α⊥β,α∩β=l,m⊥l,m⊂α→m⊥β
平面方程
根据定义，设动点为M（x，y，z），两点分别为（a，b，c）和（d，e，f）
则[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^1/2=[(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2]^1/2
x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2cz+(a^2+b^2+c^2)=x^2-2dx+y^2-2ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)
(2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2)=0
形式为ax+by+cz+d=0
平面的法向量
取平面内三点：A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d+b+a)/c)C(0,2,-(d+2b)/c) AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a+b)/c) 设向量n：(x,y,c)为
平面的法向量，则 2y-2b=0 x+y-(a+b)=0 ->y=b x=a 则n=(a,b,c)为平面的一个法向量。
直线切割平面
直线切割平面是指用直线将平面划分成多个部分。
n条直线最多将平面分割成1+个部分，最少将平面分割成1+n个部分。
证明：（1）有一条直线时，最少分成2部分，最多分成
1+1=2部分；
（2）有两条直线时，最少分成3部分，最多分成1+1+2=4部分，此时两直线有一个交点；
（3）有三条直线时，最少分成4部分，最多分成1+1+2+3=7部分，此时三条直线有三个交点；
（4）设直线条数有n条，分成的平面最多有a个，最少有b个，有以下规律：
a=
1+1+…+（n-1）+n=+1，此时n条直线有n个交点；b=1+n；
圆切割平面
圆切割平面是指用圆将平面划分成多个部分。
n个圆最多将平面分割成2+n（n-1）个部分，最少将平面分割成2n个部分。
证明：
设n个圆最多可以把平面分成S(n)个部分
则可得：
S(1)=2；
S(2)=4；
...
前n-1个圆最多将平面分成S(n-1)个部分,此时,对于第n个圆来说,它与先前的n-1个圆最多有2(n-1)个交点,即此第n个圆最多被这2(n-1)个交点分成2(n-1)条圆弧段.由于每增加一个圆弧段,便可将原来的某个区域分为两个区域（此处最好看图分析）.因此,第n个圆使平面增加了2(n-1)个区域.因此可得
递推关系式：
S(n)=S(n-1)+2(n-1), 其中n
大于等于2.
由此递推关系式得到：
S(n)=S(1)+2*1+2*2+...+2*(n-1)=2+n*(n-1)=2+n（n-1）；
即n个圆最多可以把平面分成2+n（n-1）个部分。
证明最少同直线。
三角切割平面
n个三角形最多将平面分割成3n（n-1）+2个部分，最少将平面分割成2n个部分。
证明：平面本身是1部分．一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即增加了1部分，
两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见图1）；
由图1看出，新增加的部分数与增加的交点数相同，所以，再画第3个三角形时，应使每条边的交点尽量多；
对于每个三角形，因为1条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生3×（2×2）=12（个）交点，即增加12部分；
因此，3个三角形最多可以把平面分成：1+1+6+12=20（部分）；
由上面的分析，当画第n（n≥2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n-1）个三角形的各两条边相交，
共可产生交点：3×[（n-l）×2]=6（n-1）（个），能新增加6（n-1）部分，
因为1个三角形时有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是：
2+6×[1+2+…+（n-1）]=2+6×=2+3n（n-1），
证明最少同直线。
平面关系
直线和平面
设
直线方程为x=kz+b,y=lz+a,
平面方程为cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f
属于：p=0,q=0
平行：p=0,q≠0
相交：p≠0
垂直：c/k=l/d=e
平面和平面
设平面a的方程为ax+by+cz+d=0平面b的方程为a1x+b1y+c1z+d1=0
((|a||+|b|+|c|+|d|)^2(|a1+|b1+|c1|+|d1|)^2>0)
相交：不平行也不重合
平行：a/a1=b/b1=c/c1≠d/d1
重合：a/a1=b/b1=c/c1=d/d1
垂直：aa1+bb1+cc1+dd1=0
空间的角
设平面e、f的
法向量为c、d 直线m的
方向向量为a (把直线z=kx+b,z=ly+a的方向向量(k,l,1)代入，
把平面ax+by+cz+d=0的法向量(a,b,c)代入
设b为m和e所成的角，则b=π/2±
。sinb=|cos|=|a*c|/|a||c|二面角：当双
法向量的朝向一致时，平面e、f的法向量为c、d
设
二面角e-e∩f-f为a，那么a=π-
=π-|c*d|/|c||d|当双
法向量的朝向不一致时，平面e、f的法向量为c、d
设二面角e-e∩f-f为a，那么a==|c*d|/|c||d|
空间距离
点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。
易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos
|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；
平面到平面的距离为在平面上一点到平面的距离；
点到直线的距离：A∈l,O是P点在l上的
射影，PA和l所成的角为b，s为l的
方向向量。
易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin
|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|