几何原本

欧几里得创作的数学著作

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。

内容简介

《几何原本》全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明，包括了平面几何、立体几何和初等数论的一些内容。

第1卷共有23个定义、5个公设、5个公理和48个命题，用23个定义提出了点、线、面、圆和平行线的原始概念，提出了5个公设和5个公理，进一步研究了三角形全等的条件、三角形边和角的大小关系、平行线的理论、三角形和多角形等积的条件。其中，最后2个命题是毕达哥拉斯定理及其逆命题。

第2卷共有14个命题，研究多边形的等积问题。其中，前10个代数命题是用面积变换与毕达哥拉斯定理解决的，第12、13个命题相当于余弦定理。

第3卷共有37个命题，先给出了有关圆的一些定义，然后讨论弦、切线、割线及圆心角与圆周角的有关定理，给出了由已知点作已知圆的切线的作图方法（不用平行公理）。

第4卷共有16个命题，论述了圆和多边形的关系，如求作正多边形的内切圆、外接圆以及圆的内接正多边形、外切正多边形。

第5卷共有25个命题，详细探讨了关于量的比例论，比例论避免了无理数而适用于不可公度的量。

第6卷共有33个命题，将第5卷已建立的理论用到平面图形上去，为相似多边形的理论。

第7、8、9卷分别有39、27、36个命题，是初等数论，是整数的整除性质的讨论，包括求两数最大公因数的辗转相除法（也叫欧几里得算法），给出了有关连比例的定理，素数无穷多的证明，最后一个命题是一个数是完全数的充分性的定理。

第10卷共有115个命题，讨论了线段的加、减、乘以及开方运算，对所得之特殊线段命了名，并讨论了这些特殊线段之间的关系，对形如（a、b为两有理线段）的无理量所有25种可能的形式进行分类。

第11卷共有39个命题，讨论了空间的直线与平面的各种关系，给出了直线与平面、平面与平面关系的许多性质定理，还给出了平行六面体的有关体积的命题。

第12卷共有18个命题，是关于面积和体积的命题，特别是关于圆面积与球体积的问题。

第13卷共有18个命题，是正多面体的一些性质，其目的在于讨论球内接各正多面体边长之间的关系，最后一个命题给出了球内五个正多面体边的作图，其推论指出正多面体仅有五个。

作品目录

创作背景

公元前8至公元前6世纪，在小亚细亚地区，希腊移民建立了一群经济上繁荣富裕的工商业城市，发展出了希腊城邦制度。希腊人凭借地理上的优势，大力发展海上贸易，广泛吸收先进的古埃及和古巴比伦的文化，成为古希腊文明的中心，培育出了公元前6世纪以后的小亚细亚诸城邦的一批思想家和学者，小亚细亚、尤其爱奥尼亚成了古希腊自然哲学和科学的故乡。希波战争以后，雅典取得了希腊城邦的领导地位，海上贸易更加发达。经济生活更加繁荣，古希腊文明中心由小亚细亚移向希腊本土雅典，此时，希腊民主城邦制度逐步走向全盛时代。“各城邦实行独立的主权在民和直接民主制度，即城邦的政治主权属于它的公民，公民们直接参与城邦的管理。”“在这种制度下，凡享有政治权利的公民的各项决议无论在寡头、贵族或民主政体中总是最后的裁断，具有最高的权威”，这种“民主生活又使得议会、陪审法庭和公民大会成为说话的艺术即雄辩术的广阔的用武之地。雄辩术可以使一个普通的公民成为民众的领袖”。在这种环境下，雅典学术气氛十分活跃，雅典公民在公开的政治生活中获得广泛的知识，希腊世界各地的知识分子也群趋雅典，希腊哲学、艺术、文化科学等各方面呈现出百花齐放、各炫异彩的空前盛况。马其顿王亚历山大的帝国崩溃以后，作为东西海陆交通枢纽的埃及的亚历山大里亚逐渐成为古希腊文化中心。其时，托勒密一世重视科学文化，在那里修建科学中心。修建博物园，建立图书馆，藏书70余万卷，几乎包括所有古希腊的著作和东方的一部分典籍，还把当时所有学术中心的许多学者请到亚历山大里亚，欧几里得就是在公元前300年左右受邀到那里从事教学和研究的。数学在一个自由的学术气氛中最能获得成功，而希腊的民主城邦制度则提供了这种自由的学术环境，在那里古希腊人创立了思辩的哲学，发展和积累了丰富的自然科学和数学知识，《几何原本》就是在这样的环境中诞生的。

大约在公元前300年，欧几里得比较系统地总结了古代劳动人民长期积累的几何知识，把人们公认的一些事例归纳成定义和公理，用它来研究图形的性质，写成了《几何原本》一书。

作品思想

公理化思想

公理化方法的建立具有分析、归纳和总结数学知识的作用，能把分散的、杂乱的、支离片段的几何知识整理成为一门完整的、严密的、系统的科学体系。在一个数学理论体系中，尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的规则，把该理论体系建立成一个演绎系统，这样一种构建理论体系的思想就是公理化思想。《几何原本》即从少数几个公理出发，由简到繁地推演出460多个命题，建立起人类史上第一个完整的公理演绎体系。

首先，《几何原本》系统使用公理化方法。书中从定义、公设、公理出发，按逻辑规则勾织了一张命题之网，锤炼出了严密的公理化演绎系统，建立了几何学的逻辑体系。为数很少的初始原则几乎无一例外具有自明性，但却能演绎出极其丰富可靠的命题。

其次，《几何原本》构建了完整的几何体系。欧几里得总结了前人积累的成果，使零散的数学知识编织成一个完整的几何体系，又通过对早期柏拉图数学思想，尤其是几何论系统的周详研究，敏锐观察到了几何学理论发展的趋势，把欧多克索斯的许多定理收入《几何原本》，并完善了前人的证明，给出了无懈可击的论证。

最后，《几何原本》发展了数学思想方法。欧几里得为几何证明提供了规范，书中许多证明是他自己独创的，表现了很高的技巧。书中的证明方法主要有综合法、分析法和反证法、几何代数法，既用几何代数法叙述了比例论，巧妙地解决了很多经典问题；又广泛使用了穷竭法，使这一数学方法得到发展，而从中可以看到微积分的思想方法的雏形；还论证命题的过程中使用了辗转相除法，给出了两个正整数的最大公因数。

作品影响

数学方面

首先，《几何原本》建立了比较严密的几何体系，其诞生标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科，在几何学发展史上具有划时代的意义。在这个体系中有四个方面的内容：①定义。亦即几何学里用的名称或术语的意义，都是以生产实践中抽象出来且为人们所共知的，因而无需加以说明。例如“点”的定义是：点只有位置而没有大小，且不能被分割。②公理。亦即不加逻辑推证而自明的真理。③公设。就是几何学中假设其成立的事项，但这种假设必须有客观依据而被大家公认。例如，过任何不同的两点，可以作一条直线。近代的学者不再把公设与公理分开，而统称之为公理。 ④命题。包括作图题和定理两部分。作图题是从几何学里已知的对象出发，找出或作出所要求的对象；定理则是根据假定、公理、公设和定义，应用逻辑推理方法推证而得出的结论。 全书就是以第1卷的定义、公设、公理为依据，逻辑地展开各部分内容。比如之后出现的每一个定理，都写明什么是已知的、什么是要求证的，都根据前面的定义、公设、公理、定理等进行逻辑推理给予严格的证明。

其次，欧几里得在《几何原本》中把几何学建筑在最初的公设、公理的基础上，然后运用逻辑的定义和推理方法依次导出后面的定义和定理，把庞大的零散的几何知识用逻辑的链子整理和编织成为一个系统的概念和理论的完整体系，并规定了几何的证明方法（如分析法、综合法和归纳法等），这是用公理方法建立几何体系的雏形，对近代数学的发展有着巨大的推动作用，给现代几何学打下了坚实的基础。

最后，欧几里得的第五公设在数学史上占有特殊的地位。后世的数学家注意到，与论述直线和圆的基本性质的前四条公设相比，第五公设的性质显得太复杂了，更像一条定理而不是公设。因此人们开始怀疑第五公设作为公理的地位，并探索用其它公理来证明它，从而使之变成为一条定理。在两千余年中，进行这种求索试探并有案可查的就达2000人以上，其中包括许多知名的数学家。虽然，所有这一切几乎都失败了，但是，由于数学家们对欧几里得第五公设的怀疑、探索，并在这些失败教训中，引出了许多与欧几里得几何不同的几何，诞生了一种崭新的几何学体系——非欧几何学。

教育方面

欧几里得《几何原本》系统地整理并记载了长时期以来人们在生活实践中所积累的丰富的几何知识以及较严密的逻辑结构，因此，尽管科学技术的发展日新月异，但是《几何原本》一直是传播几何知识和培养逻辑思维能力的较好的教材，对数学教育起着重要的作用，历史上诸多科学家从中得到益处，从而作出了伟大的贡献。例如牛顿、爱因斯坦。其中，牛顿在公元1664年4月一次奖学金考试中落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”此后，牛顿把《几何原本》从头到尾反复地进行深入钻研，在少年时代打下了坚实的数学基础，后来成为数学、物理学的卓越科学家。

哲学方面

首先，但凡是具有科学哲学倾向的哲学家和百科全书式的哲学家，都受过《几何原本》的深刻影响：或者从接触到它而转向研究哲学；或者从中得到基本的逻辑训练，形成了一个注重和善于逻辑思维的大脑；或者从中吸取思想养料，并把它转化成哲学材料；或者受到它的公理化体系和演绎方法的启示，为构造各自的哲学大厦得到框架和建构方法。诸如霍布斯、笛卡尔、斯宾诺莎、莱布尼茨、狄德罗等。

其次，《几何原本》的公理化体系成为许多派别的哲学家构筑哲学理论体系的框架。不论是唯物派哲学家，还是唯心派哲学家，不论是经验派哲学家，还是唯理派哲学家，都对这种公理化的体系大加推崇，把它用到构筑自己的哲学体系中来，这几乎已经成为全部欧洲近代哲学的传统。

最后，《几何原本》引发了深刻的认识论问题。两千多年来，人们对《几何原本》的绝大多数公理和用于推导逻辑程序是深信不疑的，认为它们具有普遍必然性。至于这种公理和逻辑程序的普遍必然性是从何而来的，许许多多的哲学家对此进行了持续不断的研究和探索，在哲学史上形成了一个答案各异、观点迭出、派别林立的异采纷呈的局面。有的哲学家认为，它来自经验归纳；有的哲学家认为，它来自“天赋观念”；有的哲学家则认为，它既不来自先天分析，又不来自后天综合，而是来自先入、综合；等等。只有马克思主义的唯物论的反映论才唯一正确地回答了这一深刻的认识论问题：无论是《几何原本》的公理，还是《几何原本》的用于推导的逻辑程序，都只能来自人们的社会实践，特别是用于改造自然的生产实践。但马克思主义的回答是为研究这一问题确定了正确的原则和方向，并不意味着结束对这一问题的研究。

作品评价

明代数学家徐光启：“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思。故举世无一人不当学。……此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙，在明而已。”

近代思想家梁启超：“最著名者，如利、徐合译之《几何原本》，字字精金美玉，为千古不朽之作，无用我再为赞叹了。”

出版信息

希腊文本

欧几里得《几何原本》的手稿早已失传，《几何原本》在很长一段时间内是以各种文字的抄本到处流传，而且不同文字的抄本内容不尽相同，甚至是根据一些版本重新整理修订的。到了公元4世纪，希腊人赛翁（Theon）根据几个不同版本整理了一个希腊文抄本，此即赛翁抄本，后来的学者大都根据赛翁抄本研究和翻译《几何原本》。

公元1533年，在巴塞尔（Basel）第一次印刷了格里乌（Simon Gryueng）的希腊文本《几何原本》，此即巴塞罗版。

公元1808年，在梵蒂冈图书馆发现了两部欧几里得的著作，其中之一是希腊文抄本《几何原本》（MS. Vat. 190），此即梵蒂冈抄本。拿破仑把这两个抄本送往巴黎，经研究认为该抄本的来源早于赛翁抄本。从此，很多学者把注意力转向研究梵蒂冈抄本。

阿拉伯文译本

在哈伦·拉希德（Harun al—Rasid）统治的公元9世纪初，数学家哈贾杰·伊本·优素福（al-Hajjāj ibn Yūsuf）受皇室的委托和资助，译出第一个阿拉伯文译本《几何原本》，称Harun版。

在马蒙统治时期，哈贾杰·伊本·优素福又根据其他抄本对《几何原本》的译文进行了删除、补充，使其内容更简化了些，重新译出一个阿拉伯文译本，称al—Mamun版。该译本共6本，可能13卷，现藏于荷兰的莱顿（MS. Cadex. Leidensis 399，1）。

伊沙格（Ishāq ibn Hunain，?—公元910年）认为前人的阿拉伯文译本《几何原本》不理想，便决心自己重新翻译，但他的译本没有保存下来。伊拉克数学家塔比·伊本·库拉（Thābit ibn Qurra，约公元834年—公元901年）修订了伊沙格的译文，完成了15卷的一个阿拉伯文译本，含478个命题，称伊沙格—塔比本（Ishāq—Thābit本），牛津大学图书馆现藏有该译本的两个抄本（Ms Oxford，Bodl 279，公元1238年抄；Ms Oxford，Bodl 280，公元1260年抄，有修改）。

数学家纳西尔·丁（Nasir ad-Din al-Tusi，约公元1201年—公元1274年）根据掌握的译本重新整理和编写了一个阿拉伯文译本《几何原本》（Tahrir usùl Uqlidis），于公元1248年完成，分大版（editio major）和小版（editio minor）两种。其中，大版于公元1594年在罗马出版过，只在意大利佛罗伦萨（Florence）能见到（Ms Flor. Pal. 272；Ms Flor. Pal. 313，仅有6卷）；小版共15卷，含468个命题，流传很广，公元1801年在君士坦丁堡（Constantinople）印刷过，公元1824年在加尔各答（Calcutta）印刷过前6卷，在伦敦、巴黎、柏林、慕尼黑、伊斯坦布尔等地都能见到，可以在大英博物馆（974；1334；1335）和巴黎（2465；2466）查阅到。

拉丁文译本

公元1120年左右，英国学者阿德拉德（Adelard of Bath，约公元1090年—公元1150年）根据阿拉伯文译本翻译出第一个拉丁文译本《几何原本》，分为3类：Adelard Ⅰ、Adelard Ⅱ、Adelard Ⅲ。其中，Adelard Ⅰ的底本是哈贾杰·伊本·优素福的阿拉伯文译本；Adelard Ⅱ是在Adelard Ⅰ的基础上修改形成的，有时也称Adelard单行本；Adelard Ⅲ是在Adelard Ⅱ的基础上编写的，有序文。后来，杰拉德（Gerard of Cremora，公元1114年—公元1187年）又从伊沙格—塔比本译出一个拉丁文译本。

公元1255年左右，意大利诺瓦拉人坎帕努斯（Campanus of Novara，?—公元1296年）参考数种阿拉伯文译本及早期的拉丁文本重新译出一个拉丁文译本《几何原本》，于公元1482年在意大利出版，成为第一个印刷本《几何原本》。当时，意大利出版家爱尔哈得（Erhard Ratbolt）在威尼斯创建了一个印刷厂，主动承印了该译本。公元1486年，在乌尔姆（ULM）再版。公元1491年，又在巴塞尔重版。

公元1505年，在威尼斯出版了意大利数学家赞贝蒂（Bartolomeo Zamberti，约公元1473年—?）第一次直接从希腊文本译出的一个拉丁文译本，该译本13卷，底本为塞翁抄本。

公元1572年，意大利数学家科曼迪诺（Federico Commandino，公元1509年—公元1575年）直接从希腊文本《几何原本》译出的一个拉丁文译本于比萨出版，该译本15卷，附有前人的注释和科曼迪诺自己的研究成果。

公元1574年，德国数学家克拉维乌斯（Christoph Clavius，公元1537年—公元1612年）校订增补的一个拉丁文译本《欧几里得原本15卷》（Euclidis Elementorum Libri XV）在罗马出版，之后多次再版。原著只有13卷，该译本的第14、15卷是后人添加上去的，和原著有很大的出入。其中，第14卷一般认为出自许普西克勒斯（Hypsicles，约公元前180年）之手，而第15卷是公元6世纪初叙利亚人大马士革乌斯（Damascius）所著。

公元1655年，巴罗（Isaac Barrow，公元1630年—公元1677年）根据希腊文本《几何原本》译出一个拉丁文译本。

希腊文与拉丁文对照本

公元1883年—公元1916年间，丹麦古典文献学家约翰·卢兹维·海贝尔（Johan Ludvig Heiberg，公元1854年—公元1928年）和他的学生海因里希·门格（Heinrich Menge）整理的8卷本《欧几里得全集》（Euclidis Opera Omnia）各卷先后出版。其中，第1—5卷就是《几何原本》，出版于公元1883年，为希腊文与拉丁文对照本，底本是梵蒂冈抄本（公元10世纪），副底本是收藏在牛津（MS Oxford，Bodl. D'Orville 301，公元9世纪）、佛罗伦萨（MS Firenze，Laurentian XXVⅢ3，公元10世纪）、维也纳（MS Wien，Philos. Gr. No 103，公元11—12世纪）的三个抄本。

英文译本

公元1570年，比林斯利（Henry Billingsley）完成第一个完整的英文译本《几何原本》（The Elements of Geometrie of the most ancient philosopher Euclide of Megara），其书名将亚历山大里亚的数学家欧几里得误作墨伽拉（Megara）的哲学家。

公元1660年，巴罗根据希腊文本《几何原本》译出的一个英文译本出版。

公元1756年，西姆森（Robert Simson，公元1687年—公元1768年）以科曼迪诺的拉丁文译本为基础译出的一个英文译本《几何原本》（The Elements of Euclid, with The first six Books together with the eleventh and twelfth）出版。该译本不包括第7—10卷和第13卷，加进了西姆森自己的许多解释，并不准确。

公元1862年，托德亨特（Issac Todhunter，公元1822年—公元1884年）在西姆森英文译本的基础上修改而成的一个英文译本《几何原本》（Elements of Euclid）出版。该译本用现代的数学语言加了很多解释，严格而言并非欧几里得的《几何原本》，而是讲授欧几里得几何学的教科书。

公元1908年，托马斯·利特尔·希思（Thomas Little Heath，公元1861年—公元1940年）根据希腊文与拉丁文对照本中的希腊文本译出的一个英文译本《几何原本》（The thirteen books of Euclid's elements）出版，公元1925年再版，公元1956年重印。

中文译本

最早的中文译本《几何原本》出版于公元1607年，由利玛窦（Matteo Ricci，公元1552年—公元1610年）和徐光启（公元1562年—公元1633年）翻译，底本是克拉维乌斯校订增补的拉丁文译本《欧几里得原本15卷》，仅译出前6卷。到公元1857年，后9卷才由英国人伟烈亚力（Alexander Wylie，公元1815年—公元1887年）和李善兰（公元1811年—公元1882年）共同译出，底本可能是巴罗的英文译本。

作者简介

欧几里得（Euclid，约公元前330年—公元前275年），古希腊数学家。托勒密一世（Ptolemy Soter，约公元前367年—公元前282年）时代的人，早年求学于雅典，公元前300年前后活跃于古希腊文化中心亚历山大。著有《几何原本》（Elements）、《已知数》（The data）、《圆形的分割》（On divisions of figures）、《纠错集》（Pseudaria）、《推论集》（Porisms）、《圆锥曲线》（Conics）、《现象》（Phaenomena）、《曲面轨迹》（Surface Loci）、《光学》（Optics）等。

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