一致空间

在数学领域拓扑学中，一致空间是带有一致结构的集合。一致空间是带有用来定义一致性质如完备性、一致连续和一致收敛的附加结构的拓扑空间。

一致空间

在一致结构和拓扑结构之间的概念区别是在一致空间内可以形式化有关于相对邻近性和点间临近性的特定概念。换句话说，想法如“x邻近于 a胜过 y邻近于 b”在一致空间是有意义的。相对的，在一般拓扑空间内，给定集合 A, B只能有意义的说点 x“任意邻近”A（就是说在 A 的闭包中），或者说 A是比 B更小的 x的“邻域”，但是点间邻近性和相对邻近性不能单独用拓扑结构描述。

一致空间推广了度量空间和拓扑群因此是多数数学分析的根基。

一致结构

一致结构是集合上的一种结构。设X为集合，U为X×X的非空子集族。若U满足下列条件，则称U是X上的一致结构：

1.U的每一个元包含对角线Δ.

2.若U∈U，则U^-1∈U，其中：

U^-1={(x，y)|(y，x)∈U}.

3.若U∈U，则存在V∈U使得V°VU，其中：

4.若U，V∈U，则U∩V∈U.

5.若U∈U并且UVX×X，则V∈U.

具有一致结构U的集合X称为一致空间，记为(X，U)。一致空间的概念是韦伊(Weil，A.)于1938年引入的。布尔巴基(Bourbaki，N.)于1940年首先给予系统的论述。图基(Tukey，J.W.)于1940年用覆盖族定义并研究了一致空间的等价的概念。艾斯贝尔(Isbell，J.R.)于1964年出版的书中，包含了用覆盖叙述的一致空间理论的重要发展.一致空间也可用伪度量族来描述，它是由布尔巴基于1948年给出的。

定义

一致空间有三个等价定义。

周围定义

一致空间(X, Φ) 是集合X配备了笛卡尔积X× X的非空子集族（Φ 叫做 X的一致结构或一致性而它的元素叫做周围（法语entourage：邻居或周围））满足如下公理：

如果 U在 Φ 中，则 U包含对角 Δ = { (x, x) : x∈ X}。

如果 U在 Φ 中而 V是包含 U的 X× X的子集，则 V在 Φ 中。

如果 U和 V在 Φ 中，则 U∩ V在 Φ 中。

如果 U在 Φ 中，则存在 V在 Φ 中，使得只要 (x, y) 和 (y, z) 在 V中，则 (x, z) 在 U中。

如果 U在 Φ 中，则 U= { (y, x) : (x, y) ∈U} 也在 Φ 中。

如果省略了最后的性质则称空间为准一致的。注意二三两条是滤子的定义。

通常写 U[x]={y : (x,y)∈U}。在图形上，典型的周围被绘制为围绕“y=x”对角的斑点；U[x] 们则为纵截面。如果 (x,y) ∈ U，则可以说 x和 y是“U-邻近”的。类似的，如果在 X的子集 A中的所有成对的点都是 U-邻近的（就是说如果 A× A被包含在 U中），则 A被称为“U-小”的。周围 U是对称的，如果 (y,x) ∈ U正好在 (x,y) ∈ U的时候。第一个公理声称对于每个周围 U每个点都是 U-邻近于自身。第三个公理保证“同时 U-邻近和 V-邻近二者”也是在一致性中的邻近关系。第四个公理声称对于每个周围 U都有一个周围 V是“一半大”的。最后的公理声称“邻近”关于一致结构的本质对称性质。

一致性 Φ 的基础周围系统是 Φ 的周围的任何集合 B，使得所有 Ф 的周围包含属于 B的一个集合。因此，通常上述性质 2，基础周围系统 B足够无歧义的指定一致 Φ: Φ 是包含 B的一个集合的 X× X的子集的集合。所有一致空间都用由对称周围构成的基础周围系统。

关于一致性的正确直觉可由度量空间的实例提供：如果 (X,d) 是度量空间，集合

这里的

形成了 X的标准一致结构的基础周围系统。则 x和 y是 Ua-邻近的，正好在 x与 y之间距离最多为 a的时候。

一致性 Φ “精细”于在同一个集合上的另一个一致性 Ψ，如果 Φ ⊇ Ψ；此时 Ψ 被称为“粗糙”于 Φ。

伪度量定义

一致空间可以使用伪度量系统来等价的定义，这是对泛函分析（带有半范数提供的伪度量）特别有用的方式。更精确地说，设 f: X× X→ R是在集合 X上的伪度量。逆像 Ua= f（[0,a]）对于 a> 0 可以被证实形成了一致的基础周围系统。由 Ua生成的一致是由单一的伪度量 f所定义的一致。

对于在 X上的伪度量族 (fi)，这个族所定义的一致结构是单独伪度量 fi所定义的一致结构的“最小上界”。这个一致性的基础周围系统由单独伪度量 fi所定义的一直的周围的有限交集的集合来提供。如果伪度量的族是有限的，可以看出同样的一致结构可以定义自单一的伪度量，就是这个族的“上包络” sup fi。

更少琐碎的，可证实允许可数的基础周围系统（并因此特别为由可数的伪度量族定义的一致）可以定义自一个单一伪度量。结论是任何一致结构都可以如上述那样的定义自（可能不可数）伪度量族（参见 Bourbaki：《General Topology》 Chapter IX §1 no. 4）。

一致覆盖定义

一致空间(X,Θ) 是集合 X配备显著的“一致覆盖”族 Θ，它来自 X的覆盖的集合，在按星号精致排序的时候形成了滤子。你可以称呼覆盖 P是覆盖 Q的星号精致(refinement)写为 P<*Q，如果对于所有 A∈P，有 U∈Q使得如果 A∩B≠∅，B∈P，则 B⊆U。公理化可简约为：

{X} 是一致覆盖。

如果 P<*Q并且 P是一致覆盖，则 Q也是一致覆盖。

如果 P并且 Q是一致覆盖，则有一致覆盖 R精致 P和 Q二者。

给定一个点 x和一致覆盖 P，可以把包含 x的 P的成员的并集认为是 x的大小 P的典型邻域，并且这个直觉度量一致的适用在这个空间之上。

给定在周围意义上的一个一致空间，定义覆盖 P为一致的，如果存在某个周围 U使得对于每个 x∈X，有一个 A∈P使得 U[x]⊆A。这些一致覆盖形成了第二种定义的一致空间。反过来说，给定在一致覆盖意义上的一个一致空间， ∪{A×A : A∈P} 的超集，因为 P取值于一致覆盖上，是第一种定义的一致空间的周围。此外，这两个变换是互逆的。

拓扑

定义

所有一致空间 X都可以变成拓扑空间，通过定义 X的子集 O为开集，当且仅当对于所有 O中的 x存在周围 V使得 V[x] 是 O的子集。在这个拓扑中，点 x的邻域滤子是 {V[x]:V∈Φ}。这可以通过递归的使用“一半大”周围的存在性来证明。相较于一般拓扑空间，一致结构的存在性使得比较邻域大小成为可能：V[x] 和 V[y] 被认为是“一样大”。

一致结构所定义的拓扑被称为引发自一致性。在拓扑空间上一致结构兼容于这个拓扑，如果这个一致结构定义的拓扑同最初的拓扑相符合。一般的说有多个不同的一致结构可以兼容于在 X上的给定拓扑。

可一致化空间

拓扑空间被称为可一致化的，如果一致结构兼容于这个拓扑。

所有可一致化空间是完全正则拓扑空间。此外，对于可一致化空间 X下列等价：

X是柯尔莫果洛夫空间

X是豪斯多夫空间

X是吉洪诺夫空间

对于任何兼容的一致结构，所有周围的交集是对角 {(x, x) : x∈ X}。

可一致化空间的拓扑总是对称拓扑；就是说这个空间是 R0空间。

反过来说，每个完全正则空间都是可一致化的。兼容于完全正则空间 X的拓扑的一个一致性可以定义为最粗糙一致性，它使得所有 X上的连续实数值函数为一致连续。这个一致性的基础周围系统提供为集合 (f× f)(V) 的所有有限交集，这里的 f是 X上的连续实数值函数而 V是一致空间 R的周围。这个一致性定义了一个拓扑，它明显的粗糙于 X的最初拓扑；并且它还精细于最初的拓扑（因此与它相符合）是完全正则性的简单推论：对于任何 x∈ X和 x的邻域 V，有连续实数值函数 f有着 f(x)=0 并对于 V的补集中的点等于 1。

特别是，紧致豪斯多夫空间是可一致化的。事实上，对于紧致豪斯多夫空间 X在 X× X中对角的所有邻域的集合形成了唯一的兼容于这个拓扑的一致性。

豪斯多夫一致空间是可度量空间，如果它的一致性可以定义自为可数的伪度量族。实际上，如在上面伪度量定义中讨论的，这种一致性可以定义自单一的伪度量，如果这个空间是豪斯多夫的，则它必然是度量。特别是，如果矢量空间的拓扑是豪斯多夫的并且可定义自可数的半范数族，则它是可度量的。

一致连续

类似于在拓扑空间之间保持拓扑性质的连续函数，在一致空间之间的一致连续函数保持一致性质。带有一致映射的一致空间形成了范畴。在一致空间之间的同构叫做一致同构。

一致连续函数被定义为其周围的逆像还是周围的函数，或等价的说，一致覆盖的逆像还是一致覆盖的函数。

所有一致连续函数都关于引发的拓扑是连续的。

完备性

推广完备度量空间的概念，你也可以定义一致空间的完备性。替代柯西序列，转而使用柯西滤子（或柯西网）。

在一致空间 X上的柯西滤子F是滤子F使得对于所有周围 U，存在 A∈F有着 A×A⊆ U。换句话说，一个滤子是柯西滤子，如果它包含“任意小”集合。可从定义中得出每个（关于这个一直结构定义的拓扑）收敛的滤子都是柯西滤子。柯西滤子叫做“极小”的，如果不包含更小（就是更粗）的柯西滤子（除了自己）。可以证明所有柯西滤子包含一个唯一的“极小柯西滤子”。每个点的邻域滤子（由这个点的所有邻域构成的滤子）是极小柯西滤子。

反过来说，一致空间称为完备的，如果所有柯西滤子收敛。任何紧致豪斯多夫空间都是关于兼容于这个拓扑的一致结构的完备一致空间。

完备一致空间享有如下重要性质：如果 f: A→ Y是从一致空间 X的稠密子集 A到完备一致空间 Y的一致连续函数，则 f可以扩张（唯一的）成在整体 X上的一致连续函数。

一致空间的豪斯多夫完全

如同度量空间，所有一致空间 X都豪斯多夫完全：就是说存在一个完备豪斯多夫一致空间 Y和一致连续映射 i: X→ Y带有如下性质：

对于任何从 X到完备豪斯多夫一致空间 Z的一致连续映射 f，存在一个唯一的一致连续映射 g: Y→ Z使得 f= gi。

豪斯多夫完全 Y是唯一的上至同构。作为一个集合 Y可以选取为由 X上的极小柯西滤子组成。作为每个 X中点 x的邻域滤子 B(x)，映射 i可以被定义为把 x映射到 B(x)。如此定义的映射 i一般不是单射；事实上，等价关系 i(x) = i(x') 的图象是 X的所有周围的交集，因此 i是单射正好在 X是豪斯多夫空间的时候。

在 Y上的一致结构定义如下：对于每个对称周围 V（就是说使得 (x,y) 在 V中正好在 (y,x) 在 V的时候），设 C(V) 是“至少共有一个 V-小集合”的所有极小柯西滤子的对 (F,G) 的集合。集合 C(V) 可以被证实形成了基础周围系统；如此就定义了配备了这个一致结构的 Y。

集合 i(X) 因此是 Y的稠密子集。如果 X是豪斯多夫空间，则 i是到 i(X) 的同构，因此 X可用它的完全的稠密子集来识别。此外，i(X) 总是豪斯多夫的；它叫做关联于 X的豪斯多夫一致空间。如果 R指示等价关系 i(x) = i(x')，则商空间 X/R同胚于 i(X)。

例子

所有度量空间(M, d) 都可被当作一致空间。实际上因为度量是当然的伪度量，上文的伪度量定义给出了 M的一致结构。这个一致性的基础周围系统提供自集合。这个 M的一致结构生成了在 M上的正常度量空间拓扑。但是，不同的度量空间可以有相同的一致结构（平凡的例子可通过度量的常数提供）。这个一致结构还生成一致连续和度量空间的完备性的等价定义。

使用度量，可以构造有相符合拓扑的不同一致结构的简单例子。例如，设 d1(x,y) = | x − y| 是在 R上的正常度量，并设 d2(x,y) = | e− e|。则这两个度量都引发在 R上的正常拓扑，但是一致结构是不同的，因为 { (x,y) : | x − y | < 1 } 是 d1的一致结构的周围但不是 d2的。非正式的，这个例子可以被看作选取正常的一致性并通过连续但非一致连续函数的作用扭曲它。

所有拓扑群G（特别是所有拓扑矢量空间）成为一致空间，如果我们定义 G× G的子集 V是周围，当且仅当它包含集合 { (x, y) : x⋅y∈ U} 对于 G的单位元的某个邻域U。这个 G上的一致结构叫做在 G上的右一致性，因为对于所有 G中的 a，右乘法 x→ x⋅a是关于这个一致结构一致连续的。你还可以定义 G上的左一致性；它们两个不需要相符合，但是它们都生成在 G上的给定拓扑。

历史

在安德烈·韦伊于1937年首次给出一致结构的明确定义之前，一致概念如完备性被使用度量空间讨论。尼古拉·布尔巴基在书《Topologie Général》中提供了依据周围的一致结构定义，而 John Tukey给出了一致覆盖定义。韦伊还依据伪度量族来刻画一致空间。

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