豪斯多夫空间

拓扑学和相关的数学分支名词

在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。

定义

假设X是拓扑空间。设x和y是X中的点。如果存在x的邻域U和y的邻域 V 使得 U 和 V 是不相交的(U∩V=∅)，我们称x和y可以“由邻域分离”。X是豪斯多夫空间如果任何两个X的不同的点可以由邻域分离。这是豪斯多夫空间也叫做T2空间和分离空间的原因。

X是预正则空间，如果任何两个拓扑可区分的点可以由邻域分离。预正则空间也叫做R1空间。

在这些条件之间的联系如下。拓扑空间是豪斯多夫空间，当且仅当它是预正则空间和柯尔莫果洛夫空间的二者(就是说独特的点是拓扑可区分的)。拓扑空间是预正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商空间是豪斯多夫空间。

等价

对于拓扑空间X，以下论述等价：

X是豪斯多夫空间。

X是积空间的闭集。

X中极限是唯一的(就是序列、网和滤子收敛于最多一个点)。

所有包含在X中的单元素集合都等于包含它的所有闭邻域的交集。

对角的Δ={(x,x)|x∈X} 作为乘积空间X×X的子集是闭集。

例子和反例

在数学分析所遇到的几乎所有空间都是豪斯多夫空间；最重要的实数是豪斯多夫空间。更一般的说，所有度量空间都是豪斯多夫空间。事实上，在分析中用到的很多空间，比如拓扑群和拓扑流形在其定义中明确的声明了豪斯多夫条件。

最简单的是T1空间而非T2空间的拓扑的例子是余有限空间。

伪度量空间典型的不是豪斯多夫空间，但是它们是预正则的，并且它们在分析中通常只用于构造豪斯多夫gauge空间。实际上，在分析家处理非豪斯多夫空间的时候，它至少要是预正则的，他们简单的把它替代为是豪斯多夫空间的它的柯尔莫果洛夫商空间。

相反的，在抽象代数和代数几何更经常见到非预正则空间，特别是作为在代数簇或交换环谱上的扎里斯基拓扑。他们还出现在直觉逻辑的模型论中: 所有完全 Heyting代数都是某个拓扑空间的开集的代数，但是这个空间不需要是预正则的，更少见豪斯多夫空间。

局部紧性

设X为豪斯多夫空间，则以下条件等价：

（1）X为局部紧空间；

（2）X的每点有预紧邻域；

（3）X的预紧开集组成的基。

性质

设X为豪斯多夫空间。

X的子空间是豪斯多夫空间。

两个非空拓扑空间为豪斯多夫空间，当且仅当其积空间是豪斯多夫空间，当且仅当其不相交并是豪斯多夫空间。

X的商空间不必须是豪斯多夫空间。事实上，所有拓扑空间都可以实现为某个豪斯多夫空间的商。

X是T1空间，这意味着所有单元素集合是闭集。类似的，预正则空间是 R0 空间。

X的紧集总是闭集。这对于非豪斯多夫空间就可能失效(例如有其失效的T1空间的例子)。

若K是X的紧集，F是X的闭集，则F∩K是紧集。

豪斯多夫空间的定义声称点可以由邻域分离。它蕴涵了表象上更强的东西: 在豪斯多夫空间中所有成对的不相交的紧致集合都可以由邻域分离。这是紧集经常表现得如同点的一般规则的一个例子。

紧致性条件与预正则一起经常蕴涵了更强的分离公理。例如，任何局部紧预正则空间都是完全正则空间。紧致预正则空间是正规空间，意味着它们满足乌雷松引理和蒂策扩张定理，并且有服从局部有限开覆盖的单位划分。这些陈述的豪斯多夫版本是: 所有局部紧豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间，而所有紧致豪斯多夫空间是正规豪斯多夫空间。

下列结果是关于来或到豪斯多夫空间的映射(连续函数和其他)的技术上的性质。

设f:X→Y是连续函数并假定 Y 是豪斯多夫空间。则 f 的图象是 X × Y 的闭子集。

设f:X→Y是函数并设是作为 X × X 的子空间的它的核。

如果f是连续函数并且 Y 是豪斯多夫空间则 ker(f) 闭集。

如果f是开满射而 ker(f) 是闭集则 Y 豪斯多夫空间。

如果f是连续开满射(就是开商映射)，则 Y 是豪斯多夫空间，当且仅当 ker(f) 是闭集。

如果 f,g : X → Y 是连续映射而 Y 豪斯多夫空间，则均衡子在X是闭集。可得出如果Y是豪斯多夫空间而 f 和 g 一致于X的稠密子集，则 f = g。换句话说，到豪斯多夫空间的连续函数确定自它们在稠密子集上的值。

设f:X→Y是闭满射使得 f−1(y) 对于所有 y ∈ Y 是紧致的。则如果 X 是豪斯多夫空间则Y也是。

设f:X→Y是商映射带有 X 是紧致豪斯多夫空间。则下列是等价的

Y 是豪斯多夫空间

f 是闭映射

ker(f) 是闭集

预正则性和正则性

所有正则空间都是预正则空间，也都是豪斯多夫空间。有很多拓扑空间的结果对正则空间和豪斯多夫空间二者都成立。多数时候这些结果对于所有预正则空间也成立；它们对正则空间和豪斯多夫空间要分开列出，因为预正则空间的概念要来得更晚。在另一方面，这些对于正则性为真的结果一般不适用于非正则豪斯多夫空间。

有很多情况拓扑空间的其他条件(比如仿紧致性或局部紧性)也蕴涵正则性，如果它满足预正则性的话。这种条件经常有两个版本: 正则版本和豪斯多夫版本。尽管豪斯多夫空间一般不是正则性的，局部紧豪斯多夫空间是正则性的，因为任何豪斯多夫空间都是预正则性的。因此从特定角度来看，在有关这些情况的时候它实际是预正则性的，而非正则性的。但是，定义仍依据正则性来措辞，因为这些条件比预正则性更周知。

更详细细节请参见分离公理的历史。

变体

术语“豪斯多夫”、“分离”和“预正则”还可以用于在拓扑空间上的变体如一致空间、柯西空间和收敛空间。在所有这些例子中统一的概念特征是网或滤子(在它们存在的时候)的极限是唯一的（对于分离空间）或在拓扑同构意义下唯一的(对于预正则空间)。

这显现出一致空间和更一般的柯西空间总是预正则的，所有在这些情况下豪斯多夫条件简约为 T0 条件。还有完备性在其中有意义的空间，豪斯多夫性在这些情况下是完备性的自然伙伴。特别是，一个空间是完备的，当且仅当所有柯西网有至少一个极限，而一个空间是豪斯多夫的，当且仅当所有柯西网都有最多一个极限(因为只有柯西网可以首先有极限)。

弱豪斯多夫空间

若对任何从紧豪斯多夫空间K到X的映射，g(K)为X的闭子集，则X是弱豪斯多夫空间。若X是弱豪斯多夫空间，则g(K)为X的紧豪斯多夫子空间。

引用

Munkres, J. R., 2000, Topology, 2nd edition, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-131-81629-2

赵文敏，《拓朴学导论》，九章出版社，ISBN 957-603-018-8

Arkhangelskii, A.V., L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4

Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).

Willard, Stephen（2004）．General Topology．Dover Publications．ISBN 0486434796．

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