积空间

数学领域术语

拓扑学和数学的相关领域中，积空间是指一族拓扑空间的笛卡儿积，并配备了一个称为积拓扑的自然的拓扑结构。

定义

令I为（可能无穷的）指标集并设Xi对于每个I中的i为一个拓扑空间。置X = Π Xi，也即集合Xi的卡积。对于每个I中的i，我们有一个标准投影 pi : X → Xi。X上的积拓扑定义为所有投影pi在该拓扑下连续的最疏拓扑（也就是开集最少的拓扑）。该乘积拓扑有时也称为吉洪诺夫拓扑。

很明显，X上的乘积拓扑可以表述为形为pi(U)的集合生成的拓扑，其中i属于I而U是Xi的一个开集。换句话说，集合{pi(U)}构成X上的拓扑的子基。X的子集是开的当且仅当它是(可能无穷多的)的有限个形为pi(U)的集合的交集的并集。pi(U)有时称为开柱，而它们的交集称为柱集。

我们可以用构成X的空间Xi的基来表述乘积拓扑的基。设对于每个i属于I，选取一个集合Yi或者是整空间Xi或者是该空间的一个基，并且满足Xi = Yi对于除了有限个I中的i之外的所有i成立。令B为集合Yi的卡积。所有可以这样构造的B集合的族构成乘积空间的一个基。这意味着有限多空间的乘积有一个由Xi的基元素的乘积组成的基。

如果指标集为有限（特别是，对于两个拓扑空间的乘积），则积拓扑有更简单的表述。这个情况下，每个Xi的拓扑的乘积构成X上的拓扑的一个基。一般来讲，Xi的拓扑的乘积构成一个称为X上的盒拓扑的基。一般情况下，盒拓扑比积拓扑更细，但是对于有限乘积，它们是相同的。

例子

从实直线R上的标准拓扑开始，定义n份R的乘积，就得到普通的R上的欧几里得拓扑。

康托尔集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。

属性

乘积空间X加上标准投影，可以用如下的泛性质来刻划：若Y是拓扑空间，并且对于每个I中的i，fi : Y → Xi是一个连续映射，则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立：这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述范性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下，检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射g : X→ Z是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用pi连续这一点。

除了连续，标准投影pi : X → Xi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真：若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间，则W不一定是X中的开集。（例如，W = R闭映射。

积拓扑有时称为点式收敛拓扑，因为：X上的一个序列（或者网）收敛当且仅当它所有到当且仅当所有Xi收敛。特别是，如果考虑所有在空间X = R对于所有I上的实值函数，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易看出，而其一般情况等价于选择公理。

联系

和其它拓扑概念的联系

可分离性

每个T0空间的积是T0的。

每个T1空间的积是T1的。

每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。

每个正则空间的积是正则的。

每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。

正规空间的积不一定是正规的。